\(\left\{{}\begin{matrix}x=y^2-y+m\left(1\right)\\y=x^2-x+m\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Trừ (2) cho (1), ta được: \(y-x=x^2-y^2+\left(y-x\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y\\x=-y\end{matrix}\right.\)

*Với x=y, thay vào (2) ta được:

\(x=x^2-x+m\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x+m=0\) (*)

Xét: \(\Delta'=\left(-1\right)^2-m=1-m\)

HPT có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi PT(*) có nghiệm kép

\(\Leftrightarrow1-m=0\Leftrightarrow m=1\)

*Với x=-y \(\Leftrightarrow\) y=-x , thay vào (2) ta được:

\(-x=x^2-x+m\)

\(\Leftrightarrow x^2+m=0\) (**)

Xét: \(\Delta'=0^2-m=0-m\)

HPT có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi PT(**) có nghiệm kép

\(\Leftrightarrow0-m=0\Leftrightarrow m=0\)

Vậy m=1 hoặc m=0 thì hệ có 1 nghiệm duy nhất.

\(\left\{{}\begin{matrix}x+\sqrt{y-1}=1\\y+\sqrt{x-1}=1\end{matrix}\right.\left(1\right)\left(ĐK:x-1\ge0;y-1\ge0\right)\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-1+\sqrt{y-1}=0\\y-1+\sqrt{x-1}=0\end{matrix}\right.\)

Do x-1\(\ge\)0, y-1\(\ge\)0 nên :

\(\left\{{}\begin{matrix}x-1+\sqrt{y-1}=0\\y-1+\sqrt{x-1}=0\end{matrix}\right.=0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-1=0\\y-1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1\end{matrix}\right.\) (Thỏa ĐK)

Vậy HPT có 1 cặp nghiệm (x;y).

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y+xy=m\\x^2+y^2=m\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+xy=m\\\left(x+y\right)^2-2xy=m\end{matrix}\right.\)

Đặt x+y=a, xy=b, hệ phương trình trở thành:

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=m\\a^2-2b=m\end{matrix}\right.\)

a)Với m=5, hệ phương trình trở thành:

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=5\\a^2-2b=5\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}b=5-a\\a^2-2\left(5-a\right)-5=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=5-a\\\left[{}\begin{matrix}a=-5\\a=3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=2\end{matrix}\right.\left(nhận\right)\\\left\{{}\begin{matrix}a=-5\\b=10\end{matrix}\right.\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=2\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=3\\xy=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Vậy S={(2;1);(1;2)}

b) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=m\\a^2-2b=m\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}a=-1-\sqrt{3m+1}\\b=m+1+\sqrt{3m+1}\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}a=-1+\sqrt{3m+1}\\b=m+1-\sqrt{3m+1}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)(m\(\ge\)\(\dfrac{-1}{3}\)) (1)

Hệ có nghiệm khi và chỉ khi a²\(\ge\) 4b

\(\Leftrightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}1+2\sqrt{3m-1}+3m-1\ge4m+4+4\sqrt{3m-1}\\1-2\sqrt{3m-1}+3m-1\ge4m+4-4\sqrt{3m-1}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\)m\(\ge\)0 (thỏa (1))

Vậy m\(\ge\)0 thì hệ phương trình có nghiệm

Tồng số học sinh giỏi của lớp:

43-5=38 (học sinh)

Theo đề, lớp 10A1 có 20 em giỏi toán, 15 e, giỏi văn, 18 em giỏi anh.

Số học sinh giỏi cả 3 môn là:

(20+15+18)-38=15 (học sinh)

TH1: Với x=0, phương trình trở thành:

(0² -2.0+4)(0² +3.0+4)=14.0²

\(\Leftrightarrow\) 4.4=0 \(\Leftrightarrow\)16=0 (vô lí)

Vậy 0 không phải là nghiệm của phương trình.

TH: Với x\(\ne\)0, ta được:

(x²-2x+4)(x²+3x+4)=14x²

\(\Leftrightarrow\)(\(\dfrac{\text{x²-2x+4}}{x}\))(\(\dfrac{\text{x²+3x+4}}{x}\))=14

\(\Leftrightarrow\)(x-2+\(\dfrac{4}{x}\))(x+3+\(\dfrac{4}{x}\))=14 (2)

Đặt x+\(\dfrac{4}{x}\)=t, phương trình (2) trở thành:

(t-2)(t+3)=14

\(\Leftrightarrow\)t² +t-6-14=0

\(\Leftrightarrow\)t² +t-20=0

\(\Leftrightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}t=4\\t=-5\end{matrix}\right.\)

*t=4 => x+\(\dfrac{4}{x}\)=4 => x²-4x+4=0 \(\Leftrightarrow\)x=2

*t=-5 => x+\(\dfrac{4}{x}\)=-5 => x²+5x+4=0 \(\Leftrightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}x=-4\\x=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy tập nghiệm của phương trình: S= {-4;-1;2}