10*10*10*10...........10 = 10000000000 

Môn càng thắng càng thua là : môn đua xe đạp

                          Đ/S:Môn đua xe đạp

Cách tính nhanh là:

99 + 199 + 299 + 399 + . . . . + 899

= ﴾100 ‐ 1﴿ + ﴾200 ‐ 1﴿ + ﴾400 ‐ 1﴿ + . . . + ﴾900 ‐ 1﴿

= ﴾100 + 200 + 300 + 400 + . . . + 900﴿ ‐ ﴾1 x 9﴿

= 4500 ‐ 9

= 4491

1+1 = đôi 

Đ/S = đôi

a=2011²⁰¹² -2011²⁰¹¹=2011²⁰¹¹(2011-1)=2011²⁰¹¹.2010

b=2011²⁰¹³-2011²⁰¹²=2011²⁰¹²(2011-1)=2011²⁰¹².2010

vì 2011²⁰¹¹<2011²⁰¹²=>a<b

0+0=0 

Đ/S =0

Coi tuổi cháu hiện nay là 1 phần thì tuổi ông hiện nay là 5 phần như thế.

Tuổi ông hiện nay là : 72 : ( 5 + 1 ) x 5 = 60 ( tuổi )

Tuổi cháu hiện nay là : 72 - 60 = 12 ( tuổi )

Hiệu số tuổi của 2 ông cháu hiện nay là : 60 - 12 = 48 ( tuổi )

Vì mỗi năm mỗi người tăng thêm 1 tuổi nên hiệu số tuổi của 2

ông cháu không thay đổi theo thời gian.

Coi tuổi cháu lúc đó là 1 phần thì tuổi ông lúc đó là 9 phần như thế

Tuổi cháu lúc đó là : 48 : ( 9 - 1 ) = 6 ( tuổi )

Tuổi ông gấp 9 lần tuổi cháu trước đây số năm là : 12 - 6 = 6 ( năm )

Đ/s : 6 năm

Số bạn trai là:

12:(2+1)=4 học sinh

Số bạn gái là:

12 - 4 = 8 học sinh

Đ/S:8 học sinh

55+45=100 nha bạn

Đặt B1 = a1.

B2 = a1 + a2 .

B3 = a1 + a2 + a3 ...................................

B10 = a1 + a2 + ... + a10 .

Nếu tồn tại Bi ﴾ i= 1,2,3...10﴿.

nào đó chia hết cho 10 thì bài toán được chứng minh.

Nếu không tồn tại Bi nào chia hết cho 10 ta làm như sau: Ta đen Bi chia cho 10 sẽ được 10 số dư ﴾ các số dư ∈ { 1,2.3...9}﴿.

Theo nguyên tắc Di‐ric‐ lê, phải có ít nhất 2 số dư bằng nhau. Các số Bm ‐Bn, chia hết cho 10 ﴾ m>n﴿ ⇒ ĐPCM.