Chứng minh rằng nghiệm của phương trình \(x^2-3x-m^2=0\) là nghịch đảo các nghiệm của phương trình \(m^2x^2+3x-1=0\) khi m ≠ 0

\(\left(\dfrac{2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}\right):\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}\) Đk: \(\left\{{}\begin{matrix}x>0\\x\ne9\end{matrix}\right.\)

= \(\dfrac{2\sqrt{x}+x+2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}.\dfrac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}}\)

= \(\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+4\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

= \(\dfrac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}+2}\)

B = \(\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\dfrac{5\sqrt{x}+2}{4-x}\) Đk: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\x\ne4\end{matrix}\right.\)

    = \(\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)+2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)-5\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

    = \(\dfrac{x+3\sqrt{x}+2+2x-4\sqrt{x}-5\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

    = \(\dfrac{3x-6\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

    = \(\dfrac{3\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

    = \(\dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}\)

Vậy B = \(\dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}\)  với \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\x\ne4\end{matrix}\right.\)

Ơ mình tưởng phải là "đi thôi con" trong "cuộc chia tay của những con búp bê" và "đi đi con" trong "cổng trường mở ra" chứ?

I (get) tired. Let's have a break.

There (be) various entertaining shows on TV recently.

We should reuse, reduce and recycle (protect) the environment.

Chia V trong ngoặc.

No house on the street is older than mine. (Viết lại với từ any)

As I get older, I want to travel less ( the...the)

\(\left\{{}\begin{matrix}y^2-x^2=2\left(1\right)\\xy=-\sqrt{3}\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Do xy = \(-\sqrt{3}\) ≠ 0 nên \(\left\{{}\begin{matrix}x\ne0\\y\ne0\end{matrix}\right.\)

(2) <=> x = \(\dfrac{-\sqrt{3}}{y}\)

Thay x = \(\dfrac{-\sqrt{3}}{y}\) vào (1) ta có:

\(y^2-\left(\dfrac{-\sqrt{3}}{y}\right)^2=2\)

<=> \(\dfrac{y^4-2y^2-3}{y^2}=0\)

<=> \(y^4-2y^2-3=0\)

Đặt y² = a ( a ≥ 0) ta có: 

a² - 2a - 3 = 0

Có a-b+c = 0

=> \(\left[{}\begin{matrix}a=-1\left(khôngtm\right)\\a=3\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)

a = 3 => y² = 3 <=> y = \(\pm\sqrt{3}\)

Tại y = √3 => x = -1

Tại y = \(-\sqrt{3}\) => x =1

Vậy phương trình có (x;y) ∈ \(\left\{\left(1;\sqrt{3}\right);\left(-1;-\sqrt{3}\right)\right\}\)

a) Đây là phương trình bậc 2 ẩn x có 

Δ = (-m)² - 4(m-1)

   = m²-4m+4  = (m-2)²

Do (m-2)²≥0 ∀m => Δ≥0 ∀m

Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

b) Theo Viet ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\left(1\right)\\x_1x_2=m-1\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(x_1=2x_2\left(3\right)\)

Từ (1)(3) ta có hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1=2x_2\end{matrix}\right.\)

<=> \(\left\{{}\begin{matrix}3x_2=m\\x_1=2x_2\end{matrix}\right.\) <=> \(\left\{{}\begin{matrix}x_2=\dfrac{m}{3}\\x_1=\dfrac{2m}{3}\end{matrix}\right.\)

Thay \(x_1=\dfrac{2m}{3};x_2=\dfrac{m}{3}\) vào (2) ta có:

\(\dfrac{2m}{3}.\dfrac{m}{3}=m-1\)

<=> 2m² = 9(m - 1)

<=> 2m² - 9m + 9 = 0

<=> (m - 3)(2m - 3) = 0

<=> \(\left[{}\begin{matrix}m-3=0\\2m-3=0\end{matrix}\right.\)

<=> \(\left[{}\begin{matrix}m=3\\m=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy tại m ∈\(\left\{3;\dfrac{3}{2}\right\}\) thì hai nghiệm của phương trình thoả mãn x₁=2x₂