Đk: x,y >/ 0
Ta sẽ chứng minh \(\left(x+y\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2\ge2\sqrt{xy}\cdot4\sqrt{x}\cdot\sqrt{y}\) (*) luôn đúng với mọi x,
*Xét \(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=0\end{matrix}\right.\), ta có:
\(\left(x+y\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2\ge2\sqrt{xy}\cdot4\sqrt{x}\cdot\sqrt{y}\Leftrightarrow0\ge0\) (luôn đúng)
Vậy (*) đúng.
*Xét \(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y>0\end{matrix}\right.\), ta có:
\(\left(x+y\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2\ge2\sqrt{xy}\cdot4\sqrt{x}\cdot\sqrt{y}\Leftrightarrow y^2\ge0\) (luôn đúng
Vậy (*) đúng
*Xét \(\left\{{}\begin{matrix}x>0\\y=0\end{matrix}\right.\), ta có:
\(\left(x+y\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2\ge2\sqrt{xy}\cdot4\sqrt{x}\cdot\sqrt{y}\Leftrightarrow x^2\ge0\) (luôn đúng
Vậy (*) đúng
* Xét x,y > 0
Ta có: (+) \(x+y\ge2\sqrt{xy}\) (1)
(+) \(\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge2\sqrt{\sqrt{xy}}\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2\ge4\sqrt{xy}\) (2)
Nhân (1) và (2) vế theo vế, ta được:
\(\left(x+y\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2\ge2\sqrt{xy}\cdot4\sqrt{x}\cdot\sqrt{y}\)
Vậy (*) luôn đúng với mọi x,y >/0 (đpcm)