Bài 4: Cho tam giác DEF có DE = DF = 5cm, EF = 6cm. Gọi I là trung điểm của EF.

a) Chứng minh tam giác DEI = tam giác DFI

b) Tính độ dài đọan DI

c) Kẻ IH vuông góc với DE (H thuộc DE). Kẻ IJ vuông góc với DF (J thuộc DF). Chứng minh: tam giác IHJ là tam giác cân.

d) Chứng minh: HJ song song EF.

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A , BD là phân giác của góc B . Vẽ DI vuông góc với BC (điểm I thuộc BC) . Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng DI và AB.

a) Chứng minh : tam giác ABD = tam giác IBD.

b) Chứng minh : BD vuông góc AI.

c) Chứng minh : DK = DC.

d) Cho AB = 6 cm ; AC = 8 cm . Hãy tính IC = ?

Bài 6: Cho Tam giác DEF. Gọi M là trung điểm của EF. Qua E, vẽ đường thẳng vuông góc với DE cắt DM tại K. Trên đoạn thẳng DM lấy điểm I sao cho MI = MK.

a) Chứng minh: tam giác EMK = tam giác FMI

b) Chứng minh: FI vuông góc DE.

Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) . Trên tia đối của tia AB, lấy điểm E sao cho AE = AC. Trên tia đối của tia AC, lấy điểm D sao cho AD = AB.

a) Chứng minh: tam giác ABC = tam giác ADE.

b) Vẽ AH vuông góc BC tại H. Chứng minh: tam giác BAH = tam giác ACH.

c) Tia HA cắt DC tại K. Chứng minh: K là trung điểm của DE.

d) Chứng minh: BD // CE và BD + CE = BE.

Bài 8. Cho tam giác ABC vuông tại A.Vẽ đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm H vẽ tia Ax sao cho góc BAx= góc BAH. Gọi tia AY là tia đối của tia Ax. Vẽ BD và CE vuông góc với đường thẳng xy (D, E thuộc xy). Chứng minh:

a) Tia AC là tia phân giác của góc Hay.

b) BD+CE=BC và A là trung điểm của DE.

c) HD vuông góc với HE.

Bài 9*. Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ AH vuông góc BC tại H. Tia phân giác của góc HAC cắt cạnh AC tại D, E là điểm trên cạnh AB sao cho BE = BH. Chứng minh rằng: EH // AD.

Bài 10*. Cho tam giác ABC, có BH vuông góc AC tại H và BH = 1/2AC và góc BAC bằng 75 độ. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại C.

Bài 11.

Cho tam giác ABC cân tại A (AB > BC). Vẽ BDvuông gócAC tại D, CEvuông góc AB tại E.

a) Chứng minh rằng : tam giác DAB = tam giác EAC và tam giác ADE cân.

b) Gọi H là giao điểm của BD và CE. Chứng minh rằng : AH là tia phân giác của góc BAC.

c) Chứng minh rằng : AH > CH.

Bài 12. Cho góc nhọn xAy < 60 độ. Trên các tia Ax, Ay lần lượt lấy hai điểm B, C sao cho AB = AC và AB > BC. Vẽ BM vuông góc AC tại M, CN vuông góc với AB tại N.

a) Chứng minh rằng : tam giác MAB= tam giác NAC v tam giác AMN cn.

b) Gọi K l giao điểm của BM và CN. Chứng minh rằng: AK l tia phân giác của góc BAC.

c) Chứng minh rằng : AK > CK.

Dưới thời phong kiến, nhân dân Trung Quốc đạt được nhiều thành tựu văn hoá rực rỡ, độc đáo.

Trong lĩnh vực tư tưởng, Nho giáo giữ vai trò quan trọng. Người đầu tiên khởi xướng Nho học là Khổng Tử. Thời Hán Vũ Đế, Nho giáo trờ thành công cụ sắc bén phục vụ cho nhà nước phong kiến tập quyền, trở thành cơ sở lí luận và tư tưởng của chế độ phong kiến Trung Quốc.

Các quan niệm về quan hệ giữa vua - tôi, cha - con, chồng - vợ là giường mối, kỉ cương của đạo đức phong kiến. Nho giáo, mặc dù sau này có ít nhiều thay đổi qua các thời đại, nhưng vẫn là công cụ tinh thần để bảo vệ chế độ phong kiến. Nho giáo một mặt đề xướng con người phải tu thân, rèn luyện đạo đức phẩm chất ; mặt khác giáo dục con người phải thực hiện đúng bổn phận đối với quốc gia là tôn quân (trung thành với nhà vua); đối với gia đình, con phải giữ chữ hiếu và phục tùng cha. Nhưng về sau, cùng với sự suy đổi của giai cấp địa chủ phong kiến, Nho giáo càng tỏ ra bảo thủ, lỗi thời và kìm hãm sự phát triển của xã hội.

Phật giáo ở Trung Quốc cũng thịnh hành, nhất là vào thời Đường. Các nhà sư như Huyền Trang, Nghĩa Tĩnh đã tìm đường sang Ân Độ để tìm hiểu giáo lí của đạo Phật. Ngược lại, nhiều nhà sư của các nước Ân Độ, Phù Nam cũng đến Trung Quốc truyền đạo. Kinh Phật được dịch ra chữ Hán ngày một nhiều. Khi Bắc Tống mới thành lập, nhà vua cũng tôn sùng Phật giáo, cho xây chùa, tạc tượng, in kinh và tiếp tục cử các nhà sư đi tìm hiểu thêm về đạo Phật tại Ấn Độ.

Sử học bắt đầu từ thời Tây Hán đã trở thành lĩnh vực nghiên cứu độc lập, mọi người đặt nền móng là Tư Mã Thiên. Bộ Sử kí do ông soạn thảo là một tác phẩn nổi tiếng, có giá trị cao về mặt tư liệu và tư tưởng. Đến thời Đường, cơ quan biết soạn lịch sử của nhà nước, gọi là Sử quán, được thành lập.

Văn học là một trong những lĩnh vực nổi bật nhất của nền văn học; Trung Quốc dưới thời phong kiến. Thơ Đường phản ánh toàn diện bộ mặt xã hội bấy giờ và đã đạt đến đỉnh cao của nghệ thuật. Tên tuổi nhiều nhà thơ Còi sáng mãi đến ngày nay, tiêu biểu nhất là Lý Bạch, Đỗ Phủ, Bạch Cư Dị...

Tiểu thuyết là một hình thức văn học mới phát triển ờ thời Minh, Thanh Ở Trung Quốc, tại các thành phố lớn thường có những người chuyên làm nghề kể chuyện về sự tích lịch sử. Dựa vào đó, các nhà văn đã viết thành tiểu thuyết. Nhiều tác phẩm lớn, nổi tiếng đã ra đời trong giai đoạn này như Tam quốc diễn nghĩa của La Quán Trung, Thuỷ hử của Thi Nại Am, Tây du kí của Ngô Thừa Ân, Hồng lâu mộng cùa Tào Tuyết Cần...

La Quán Trung viết Tam quốc diễn nghĩa dựa vào câu chuyện được lưu truyền trong dân gian về ba người Lưu Bị, Quan Vũ và Trương Phi kết nghĩa ở vườn đào. Nội dung cơ bản của tác phẩm miêu tả cuộc đấu tranh về quân sự, chính trị phức tạp giữa ba nước Nguỵ, Thục, Ngô.

Tác phẩm Thuỷ hử của Thi Nại Am tường thuật lại diễn biến của cuộc khởi nghĩa nông dân do Tống Giang làm thủ lĩnh tại vùng Lương Sơn Bạc. Tác phẩm đã ca ngợi tài mưu lược, lòng quả cảm của những anh hùng áo vải nên đã bị chính quyền đương thời cấm lưu truyền. Nhưng hình ảnh của các anh hùng hảo hán Lương Sơn Bạc vẫn ăn sâu vào lòng dân và đã tạo thêm nguồn sức mạnh tinh thần cổ vũ cuộc đấu tranh chống phong kiến của nông dân Trung Quốc.

Ngô Thừa Ân kể chuyện Sư Huyền Trang và các đồ đệ tìm đường sang Ấn Độ lấy kinh Phật trong các tập Tây du kí nổi tiếng. Tính cách của các nhân vật được biểu hiện trên suốt dọc đường đầy nguy nan trắc trở. Cuối cùng thầy trò Huyền Trang đã đạt được mục đích.

Hồng lâu mộng của Tào Tuyết cần viết về câu chuyện hưng suy của một gia đình quý tộc phong kiến và tình yêu của một đôi trai gái - Gia Bảo Ngọc và Lâm Đại Ngọc. Qua đó, tác giả đã vẽ lẽn bộ mặt của xã hội phong kiến trong giai đoạn suy tàn.

Quyển Cửu chương toán thuật thời Hán nêu các phương pháp tính diện tích và khối lượng khác nhau... Tổ Xung Chi (thời Nam - Bắc triều) đã tim ra số Pi đến 7 số lẻ.

Thời Tần, Hán, Trung Quốc phát minh ra nông lịch, chia 1 năm thành 24 tiết để nông dân có thể dựa vào đó mà biết thời vụ sản xuất. Trương Hành còn làm được một dụng cụ để đo động đất gọi là địa động nghi...

Từ rất sớm, Trung Quốc đã có nhiều thầy thuốc giỏi. Nổi tiếng nhất là Hoa Đà (thời Hán), người đấu tiên của Trung Quốc đã biết dùng phẫu thuật để chữa bệnh. Tác phẩm Bản thảo cương mục của lý Thời Trân là một quyển sách thuốc rất có giá trị.

Về mặt kĩ thuật, Trung Quốc có 4 phát minh quan trọng : giấy, kĩ thuật in, la bàn và thuốc súng. Đó là những cống hiến rất lớn của nhân dân Trung Quốc với nền văn minh thế giới.

Trung Quốc có nhiều công trình kiến trúc nghệ thuật đặc sắc : Vạn lí trường thành, những cung điện cổ kính, những bức tượng Phật sinh động... còn được lưu giữ đến ngày nay.