Rút gọn biểu thức A = \(\frac{1}{\sqrt{57+40\sqrt{2}}}\)

Cho (O) là đường tròn có bán kính R và A,B là 2 điểm thuộc (O) sao cho AB = 2a không đổi, với 0<a<R. Giả sử M,N là 2 điểm thuộc cung lớn AB sao cho AM\(\perp\) BN.
a) Tính khoảng cách từ O đến trung điểm I của MN theo a.
b) Xác định vị trí của M sao cho độ dài MA + MB đạt giá trị lớn nhất

Cho các số a,b,c,d đều thuộc đoạn [0;1]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
P= \(\sqrt[3]{abcd}+\sqrt[3]{\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\left(1-d\right)}\)

Cho tam giác ABC và đường tròn (O) nội tiếp trong tam giác đó. Gọi M_o, N_o, P_o lần lượt là tiếp điểm của các cạnh AB,AC và BC với (O). Trên cạnh AB,AC lần lượt lấy các điểm M,N sao cho BM+CN=BC
a) Chứng minh rằng : Góc P_oM_oN_o = \(\frac{1}{2}\)( góc BAC + góc ABC )
b) Chứng minh rằng : tam giác OMN là tam giác cân
c) Xác định vị trí của M trên AB sao cho MN ngắn nhất

Cho 2 số a,b thỏa mãn điều kiện \(a^2+b^2=1\). Tìm GTLN và GTNN của biểu thức \(A=a^6+b^6\)

Cho tam giác ABC có diện tích bằng 30 cm². Điểm D nằm trên cạnh AC sao cho AD=\(\frac{1}{3}\)AC, E là trung điểm AB. K là giao điểm của DB và EC. Tính diện tích tứ giác ADKE.

Trong mặt phẳng Oxy cho 3 đường thẳng :
(d1) : y= -3x+6 ; (d2): y= \(\frac{1}{2}x\)-1; (d3): y=2x+4
Gọi A là giao điểm của (d1) và (d2); B là giao điểm của (d1) và (d3); C là giao điểm của (d2) và (d3)
a) Vẽ (d1), (d2),(d3). Tìm tọa độ A,B,C.
b) Tính diện tích tam giác được tạo thành
c) Tính góc A,B,C của tam giác ABC ( đơn vị : độ, phút, giây )

Cho đường tròn (O;R), đường kính AB,CD cố định vuông góc với nhau. I nằm trên đoạn OC. Vẽ đường tròn (I;IA), cắt AD,AC tại M,N

a) CMR : I,M,N không thẳng hàng

b) Từ M kẻ đường thẳng song song AC, cắt CD tại K. CMR : DM,DA=DK.DO

c) Tính MA+NA theo R