(x+1) + (x+2)+(x+3) +...+(x+30) = 795

=> 30x + (1+2+3+...+29+30) = 795

=> 30x + 465 = 795 (1+2+3+...+30 bạn áp dụng quy tắc tính tổng dãy số cách đề là Ok)

=> 30x = 330

=> x = 11

Ta có: \(\frac{x^2-yz}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}=\frac{x^2+xy-xy-yz}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)

\(=\frac{x\left(x+y\right)-y\left(x+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)

\(=\frac{x}{x+z}-\frac{y}{x+y}\)

Tương tự: \(\frac{y^2-xz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}=\frac{y}{y+z}-\frac{y}{x+y}\)

\(\frac{z^2-xz}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}=\frac{z}{y+z}-\frac{x}{x+z}\)

Do đó: \(A=\frac{x}{x+z}-\frac{y}{x+y}+\frac{y}{y+z}-\frac{x}{x+y}+\frac{z}{y+z}-\frac{x}{x+z}=0\)

2. baker 

3.teacher

4. teeth

5.  sailing

6. fifth

7. smaller

8 . usually

9. oldest

10 . drives

\(M=\left(\frac{b+c}{a}+1\right)+\left(\frac{c+a}{b}+1\right)+\left(\frac{a+b}{c}+1\right)-3\)

\(=\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}-3\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-3\)

Do giả thiết \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\) nên M = -3

a) Từ giả thiết suy ra: xy + yz + zx = 0

Do đó:

\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)=x^2+y^2+z^2\)

b) Đặt \(\frac{1}{a-b}=x\); \(\frac{1}{b-c}=y\); \(\frac{1}{c-a}=z\)

Ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=a-b+b-c+c-a=0\)

Theo câu a ta có: \(x^2+y^2+z^2=\left(x+y+z\right)^2\)

Suy ra điều phải chứng minh

áp dụng tính chất kết hợp của phép cộng các phân thức, tính dần từ trái sang phải:

\(A=\frac{2}{1-x^2}+\frac{2}{1+x^2}+\frac{4}{1+x^4}+\frac{8}{1+x^8}+\frac{16}{1+x^{16}}\)

\(A=\frac{4}{1-x^4}+\frac{4}{1+x^4}+\frac{8}{1+x^8}+\frac{16}{1+x^{16}}\)

\(A=\frac{8}{1-x^8}+\frac{8}{1+x^8}+\frac{16}{1+x^{16}}\)

\(A=\frac{16}{1-x^{16}}+\frac{16}{1+x^{16}}\)

\(A=\frac{32}{1-x^{32}}\)

Giải

Ta có: \(B=bc\left(y-z\right)^2+ca\left(z-x\right)^2+ab\left(x-y\right)^2\)

\(=bcy^2+bcz^2+caz^2+cax^2+abx^2+aby^2-2\left(bcyz+acxz+abxy\right)\)

\(=ax^2\left(b+c\right)+by^2\left(a+c\right)+cz^2\left(a+b\right)-2\left(bcyz+acxz+abxy\right)\)(1)

Từ giả thiết suy ra:

\(a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+2\left(abxy+acxz+bcyz\right)=0\) (2)

Từ (1) và (2):

\(B=ax^2\left(b+c\right)+by^2\left(a+c\right)+cz^2\left(a+c\right)-a^2x^2-b^2y^2-c^2z^2\)

\(=ax^2\left(a+b+c\right)+by^2\left(a+b+c\right)+cz^2\left(a+b+c\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(ax^2+by^2+cz^2\right)\)

Do đó:

\(A=\frac{B}{ax^2+by^2+cz^2}=a+b+c\)

Phân tích mẫu thức thành nhân tử:

\(a^2\left(b-c\right)+b^2\left(c-a\right)+c^2\left(a-b\right)\)

= \(a^2\left(b-c\right)+b^2c-ab^2+ac^2-bc^2\)

= \(a^2\left(b-c\right)+bc\left(b-c\right)-a\left(b^2-c^2\right)\)

= \(\left(b-c\right) \left(a^2+bc-ab-ac\right)\)

= \(\left(b-c\right)\left[a\left(a-b\right)-c\left(a-b\right)\right]\)

= \(\left(b-c\right)\left(a-b\right)\left(a-c\right)\)

Do đó: \(A=\frac{\left(b-c\right)^3+\left(c-a\right)^3+\left(a-b\right)^3}{-\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)

Ta có nhận xét: Nếu x + y + z = 0 thì \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)

Đặt b - c = x, c - a = y, a - b = z thì x + y + z = 0

Theo nhận xét trên:

\(A=\frac{x^3+y^3+z^3}{-3xyz}=\frac{3xyz}{-3xyz}=-1\)

a) \(\frac{x-y}{x+y}=\frac{x^2-y^2}{\left(x+y\right)^2}\) Dễ thấy \(\frac{x^2-y^2}{\left(x+y\right)^2}< \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\)

vì \(\left(x+y\right)^2>x^2+y^2\) (với x > 0, y > 0)

Nên \(\frac{x-y}{x+y}< \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\)

b) \(\frac{\left(a+b\right)^2}{a^2-b^2}=\frac{a+b}{a-b}=\frac{a^2-b^2}{\left(a-b\right)^2}< \frac{a^2+b^2}{\left(a-b\right)^2}\) (với a > 0, b > 0)

Vậy \(\frac{\left(a+b\right)^2}{a^2-b^2}< \frac{a^2+b^2}{\left(a-b\right)^2}\)

Giải

\(x^3+y^3-z^3+3xyz\)

= \(\left(x+y\right)^3-z^3-3x^2y-3xy^2+3xyz\)

= \(\left(x+y-z\right)\left[\left(x +y\right)^2+\left(x+y\right)z+z^2\right]-3xy\left(x+y-z\right)\)

= \(\left(x+y-z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy+xz+yz\right)\)

Vậy \(x^3+y^3-z^3+3xyz\) chia hết cho x + y - z và được thương là:

\(x^2+y^2+z^2-xy+xz+yz\)