Giải

Trong \(\Delta\)NPB có: IP = IN (gt) ; JP = JN (gt)

nên IJ là đường trung bình của \(\Delta\)NPB

suy ra IJ // NB và IJ = \(\frac{1}{2}\)NB (1)

Trong \(\Delta\)ACN có: QC = QA (gt) ; KC = KN (gt)

nên QK là đường trung bình của \(\Delta\)ACN

suy ra QK // AN và QK = \(\frac{1}{2}\)AN (2)

Mà NA = NB (3)

Từ (1), (2), (3) => IJ // QK và IJ = QK

Vậy tứ giác IJKQ là hình bình hành

Giải

Ta có AA'CC' là hình thang do AA' // CC' và có OA = OC (vì ABCD là hình bình hành)

OO' // AA' nên OO' là đường trung bình của hình thang AA'CC'

Suy ra 2OO' = AA' + CC' (1)

Tương tự ta có OO' là đường trung bình của hình thang BB'DD'

Suy ra 2OO' = BB' + DD' (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AA' + CC' = BB' + DD'

Giải

Ta chứng minh được: BE = EF = FD = \(\frac{BD}{3}\)

E là trọng tâm \(\Delta\)ABC nên: BE = \(\frac{2}{3}\)BO = \(\frac{1}{3}\)BD

F là trọng tâm \(\Delta\)ACD nên: FD = \(\frac{2}{3}\)DO = \(\frac{1}{3}\)BD

Suy ra BE = EF = FD = \(\frac{BD}{3}\)

Giải

a) Trong \(\Delta\)BDC có CO và DF là trung tuyến nên giao điểm Q là trọng tâm. Do đó: OQ = \(\frac{1}{2}\)QC = \(\frac{1}{3}\)OC (1)

Tương Tự: OP = \(\frac{1}{2}\)AP = \(\frac{1}{3}\)OA (2)

Từ (1) và (2) suy ra AP = PQ = QC

b) Theo trên ta có, P là trọng tâm của \(\Delta\)ABD nên:

EP = \(\frac{1}{2}\)PB = PR (gt)

Tứ giác ARQE có: PA = PQ (cmt) ; PE = PR (cmt)

Tức là tứ giác ARQE có các đường chéo cắt nhau ở trung điểm của mỗi đường. Vậy tứ giác ARQE là hình bình hành

Giải

Ta có: góc BAE = góc EAD (gt)

góc BAE = góc AED ( so le trong)

Suy ra góc DAE = góc DBE

Do đó \(\Delta\)DAE cân tại D

nên DE = AD = 9 (cm)

Mặt khác, DC = AB (cạnh đối của hình bình hành bằng nhau)

nên DC = AB = 15 (cm)

Do đó CE = DC - DE = 15 - 9 = 6 (cm)

Vậy DE = 9cm ; CE = 6cm

Giải

a) Ta có: H và D đối xứng qua AB (gt)

=> AD = AB

=> \(\Delta\)ADH cân tại A

=> góc DAB = góc BAH

Tương tự chứng minh được

góc HAC = góc CAE

=> góc DAB + góc CAE = góc BAH + góc HAC = góc BAC = 1v

=> góc DAB + góc BAC + góc CAE = 2v

Hay góc DAE = 2V => D, A, E thẳng hàng

b) Dễ dàng chứng minh \(\Delta\)ABH = \(\Delta\)ABD

=> góc ADB = góc AHB = 1v => BD \(\perp\) DE

Tương tự góc AEC = góc AHC = 1v => CE \(\perp\)DE

=> BD // CE => BDEC là hình thang

Từ chứng minh trên => DH \(\perp\) AB

Mà AB // HE (cùng \(\perp\) AC) => DH \(\perp\) HE hay góc DHE = 1v

Giải

Xét \(\Delta\)MHN

Vì E và H đối xứng với nhau qua AB nên dễ dàng suy ra AB là phân giác ngoài của góc HME

Tương tự, AC là phân giác ngoài của góc HNF. Theo định lí về tính chất ba đường phân giác ta suy ra AH là phân giác trong của góc MHN

Do AH \(\perp\) BC nên suy ra BC là phân giác ngoài của góc H

AC và BC là hai phân giác ngoài của góc HNF và góc H nên suy ra MC là phân giác trong của góc HMN

AB và MC là hai phân giác ngoài của góc HMN nên AB \(\perp\) MC

Lại có AB \(\perp\)EH (gt) => MC // EH

Chứng minh tương tự ta có NB // FH

Giải

a) Ta có E là điểm đối xứng của D qua AB (gt) và A là điểm đối xứng của A qua AB nên AE là đối xứng của AD qua AB. Do đó AE = AD (1)

Tương tự, ta có AF là đối xứng của AD qua AC nên AF = AD. Suy ra AE = AF (2)

Từ (1) và (2) => góc EAD = 2 lần góc MAD ; góc DAF = 2 lần góc DAN

Từ đó suy ra góc EAF = 2 lần góc BAC = 120⁰

b) Do đối xứng nên ta có: góc AEM = góc ADM và góc AFN = góc ADN

Nhưng \(\Delta\)AEF cân tại A (do AE = AF, cmt) nên có góc AEM = góc AFN

Suy ra góc ADM = góc ADN hay AD là phân giác của MDN

Vậy AD là phân giác của \(\Delta\)DMN

Giải

Gọi M, N, I là trung điểm của hai cạnh AB, CD và đường chéo AC

Trong \(\Delta\)ABD ta có: MI = \(\frac{AD}{2}\)

và MI // AD (vì MI là đường trung bình)

Trong \(\Delta\)BCD ta có: NI = \(\frac{BC}{2}\)

và NI // BC (NI là đường trung bình)

=> MI + NI = \(\frac{AD+BC}{2}\) (1)

Mặt khác, theo giả thiết MN = \(\frac{AD+BC}{2}\) (2)

Từ (1) và (2) => MN = MI + NI, đẳng thức này chứng tỏ I nằm trên đoạn MN

Vậy MN song song với AD và BC, hay tứ giác ABCD là hình thang

Giải

Gọi M, N, I là trung điểm của hai cạnh AB, CD và đường chéo AC

Ta có: IM = \(\frac{BA}{2}\) (IM là đường trung bình của \(\Delta\)ABC)

IN = \(\frac{AD}{2}\) (IN là đường trung bình của \(\Delta\)ACD)

Trong \(\Delta\)MIN có:

IM + IN \(\ge\) MN

hay \(\frac{BC+AD}{2}\ge MN\)