a) E là trung điểm AB (gt)

H là trung điểm AD (gt)

=> EH là đường trung bình của tam g ABD

=> EH // BD, EH = BD/2 (1)

tương tự cm FG là đường trung bình của tam g BDC

=> FG // BD, FG = BD/2 (2)

từ (1) và (2) => HE // FG, HE = FG

=> EFGH là HBH

H là trung điểm AD (gt)

Glà trung điểm DC (gt)

=> HG là đường trung bình của tam g ADC

=> HG // AC

AC vuông BD (gt)

=> HG vuông BD

BD // HE (HE là đường trung bình của tam g ABD)

=> HG vuông HE

HBH EFGH có ^EHG =90ĐỘ ( cmt)

=> EFGH là HCN (vì là HBH có 1 góc vuông)

b) nối E vs G, F vs H

L là trung điểm EH (gt)

I là trung điểm EF (gt)

=> IL là đường trung bình của tam g EFH

=> IL // HF, IM = HF/2 (3)

cm tương tự ta được JK là đường trung bình của tam g HGF

=> JK // HF , JK = HF/2 (4)

từ (3) và (4) => IL // JK, IL=JK

=> ILKJ là HBH

EFGH là HCN => HG = EF (t/c HCN)

K là trung điểm HG (gt)

I là trung điểm EF (gt)

=> HK = EI

xét tam g LHK vuông tại H

tam g LEI vuông tại E (EFGH là HCN)

có LH = LE (L là trung điểm HE )

HK = EI (cmt)

=> tam g LHK = tg LEI (2 cgv)

=> KL = LI (2 cạnh t/ư)

ILKJ là HBH , KL = LI (cmt) => ILKJ là Hthoi (vì là HBH có 2 cạnh kề = nhau)

d) khi AC vuông BD, AC = BD thì EFGH, ILKJ là Hvuông

a) có ABCD là HBH (gt)

=> AB = DC, AD = BC (t/c HBH)

M là trug điểm AB, N là trung điểm DC (gt)

AD = a, AB=2a

=> AD = DN = NC = AM = MB = BC

=> tam g ADN cân tại D

tứ giác ADNM có AM // DN (vì AB // DC )

AM = DN (cmt)

=> ADNM là HBH (vì là tứ giác có 2 cạnh đối vừa // vừa = nhau)

mà AD = DN (tam g ADN cân tại D)

=> ADNM là Hthoi (vì là HBH có 2 cạnh kề = nhau)

=> AN là tia phân giác của ^DAM (t/c Hthoi)

hay AN là tia pg của ^DAB

b) tứ giác MBND có

MB // ND (vì AB // CD)

MB = DN (cm câu a)

=> MBND là HBH (vì là tứ giác có 2 cạnh đối vừa // vừa = nhau)

=> MD // NB (t/c HBH) hay MP // NQ

c)

ADNM là Hthoi (cm câu a)

=> đường chéo AN vuôg DM (t/c Hthoi) => ^MPN = 90 ĐỘ

tứ giác MBCN có MN = NC = CB = BM (=a)

=> MBCN là Hthoi (vì là tứ giác có MBCN)

=> đường chéo MC vuông đường chéo BN (t/c Hthoi) => ^MQN=90ĐỘ

tam g MQN có ^MQN + ^QNM + ^NMQ = 180 ĐỘ

=> 90 ĐỘ + ^QNM + ^NMQ = 180 ĐỘ

=> ^QNM + ^NMQ = 90ĐỘ (1)

MP // QN (cm câu b)

=> ^PMN = ^QNM (2 góc SLT) (2)

từ (1) và (2) => ^PMN + ^NMQ = 90 ĐỘ = ^PMQ

tứ giác PNQM có ^MPN = ^PMQ = ^MQN = 90ĐỘ (cmt)

=> PNQM là HCN (vì là tứ giác có 3 góc vuông)

gọi MH giao BA tại S, HN giao AC tại O

tứ giác ASHO có ^ASH = ^SAO = ^HOA = 90 độ

=> ASHO là HCN (vì là tứ giác có 3 góc vuông)

=> SH = AO, SA = HO (t/c HCN)

SH = AO mà SM = SH (vì M đối xứng H qua AB)

=> SM = AO

SA = HO mà HO = ON ( H đối xứng N qua AC)

=> SA = ON

xét tam g SAM vuông tại S

tam g OAN vuông tại O

có SM = OA (cmt)

SA = ON (cmt)

=> tam g SAM = tg OAN (2 cgv)

=> MA = AN (2 cạnh tương ứng)

b) xét tam g SAM vuông tại S

tam g SAH vuông tại S

có SM = SH (M đx Hqua AB)

SA là cạnh chung

=> tam g SAM = tam g SAH (2cgv)

=> \(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\) ( 2 góc tương ứng) (1)

cm tương tự ta được tam g OAH = tam g OAN (2 cạnh góc vuông)

=> \(\widehat{A_3}=\widehat{A_4}\) (2 góc t/ư) (2)

có \(\widehat{A_2}+\widehat{A_3}=90^0\) ( tam g ABC vuông tại A ) (3)

từ (1), (2) và (3) => \(\widehat{A_1}+\widehat{A_4}=90^0\) (4)

từ (3) và (4) => \(\widehat{A_1}+\widehat{A_2}+\widehat{A_3}+\widehat{A_4}=180^0\) hay ^MAN =180ĐỘ

=> M,A,N thẳng hàng

mà MA = AN (cm câu a)

=> M đx N qua A

c)có ASHO là HCN (cm câu a)

=> ^SHO = 90ĐỘ hay ^MHN =90ĐỘ

=> tam g MHN vuông tẠI H

d)

có ^SHA + ^AHO = ^SHO = 90 ĐỘ (ASHO là HCN )

^AHO + ^CHO = ^AHC = 90ĐỘ (vì AH vuông BC)

=> ^SHA = ^CHO

xét tam g AHO vuông tại O

tam g ANO vuông tại O

có HO = ON (H đx N qua AC)

AO là cạnh chung

=> tam g AHO = tam g ANO (2cgv)

=> ^AHO = ^ANO ( 2 góc t/ư)

cm tương tự ta đc tam g AOC = g NOC (2cgv)

=> ^ OHC = ^ONC (2 góc t/ư)

mà ^OHC = ^SHA (cmt)

=> ^ ONC = ^SHA

có ^SHA + ^ AHO = 90 ĐỘ ( = ^ SHO)

mà ^ SHA = ^ONC (cmt)

^ANO = ^AHO (cmt)

=> ^ANO + ^ONC = 90ĐỘ = ^ANO

=> MN vuông NC

ABCD là HCN (gt)

=> AB = CD, AD = BC (t/c HCN)

mà E là trung điểm của AB, F là trung điểm của DC , AB = 2AD (gt)

=> AD = AE = BE = BC = DF = FC

tứ giác AEFD có AE // DF (vì AB // CD)

AE = DF (cmt)

=> AEFD là HBH

^A = 90 độ => AEFD là HCN mà AD = AE (cmt)

=> AEFD là Hvuông (vì là HCN có 2 cạnh kề = nhau)

=> 2 đường chéo AF và DE = nhau cắt nhau tại trung điểm mỗi đường ,vuông góc vs nhau và là phân giác của ^E (t/c Hvuông)

mà AF giao DE tại M

=> ME = MF

^AED = ^FED = 45 ĐỘ (1)

^EMF = 90ĐỘ

cm tương tự ta có EBCF là Hvuông

=> ^ENF = 90độ

^NEF = 45 ĐỘ (2)

từ (1) và (2) => ^MEN = 90 độ

tứ giác MENF có ^MEN = 90 , ^ ENF =90, ^EMF = 90

=> MENF là HCN ( vì là tứ giác có 3 góc vuông)

mà ME = MF (cmt)

=> MENF là Hvuông ( vì là HCN có 2 cạnh kề = nhau)

tiền vốn của quyển sách là

3500 x ( 100 - 25 ) = 2625 đồng