1025 m duyệt đi 

Câu 1: Gọi H là trung điểm AB thì SH là trung trực của tam giác đều SAB. Tâm đường tròn ngoại tiếp SAB là điểm E chia đường cao SH theo tỉ số EH : SH = 1:3.

- Gọi D là trung điểm BC thì D là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC và HD là đường trung bình tam giác vuông BAC, HD song song AC nên HD vuông góc AB. Mà (SAB) vuông góc với đáy (ABC) nên SH vuông góc (ABC). Do đó, dựng hình chữ nhật EHDO thì O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC và OA chính là bán kính hình cầu này.

- Tam giác ABC vuông cân với cạnh góc vuông a nên cạnh huyền \(BC=a\sqrt{2}\), do đó \(DA=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\).

Tam giác SAB đều cạnh a nên đường cao \(SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\), do đó \(OD=EH=\dfrac{1}{3}SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}\). Vì vậy

\(OA^2=DA^2+OD^2=\dfrac{a^2}{2}+\dfrac{a^2}{12}=\dfrac{7a^2}{12}\).

Hình cầu có bán kính \(R=a\sqrt{\dfrac{7}{12}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{6}\). Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp là

\(V=\dfrac{4\pi R^3}{3}=\dfrac{4\pi}{3}\left(\dfrac{a\sqrt{21}}{6}\right)^3=\dfrac{7\pi a^3\sqrt{21}}{54}\)

Câu 2: Thiết diện qua trục hình trụ là hình vuông TNPR cạnh 3a nên hình trụ có chiều cao 3a và có bán kính đáy \(\dfrac{3a}{2}\).

Hình trụ có diện tích đáy \(\pi\left(\dfrac{3a}{2}\right)^2=\dfrac{9\pi a^2}{4}\), diện tích xung quanh là \(3a.2.\dfrac{3a}{2}\pi=9a^2\pi\). Hình trụ có diện tích toàn phần là \(2.\dfrac{9\pi a^2}{4}+9\pi a^2=\dfrac{27\pi a^2}{2}\).

Câu 3:

Hính nón cần tính diện tích xung quanh có đỉnh là tâm E của hình vuông ABCD và có đáy là hình tròn ngoại tiếp hình vuông A'B'C'D'. Vậy hình nón này có chiều cao EO = AA' = a; có bán kính đáy là \(r=OA'=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\) nên có đường sinh là \(l=EA'=\sqrt{EO^2+OA'^2}=\sqrt{a^2+\dfrac{a^2}{2}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\) Diện tích xung quanh hình nón là

\(S_{xq}=\pi rl=\pi.\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.\dfrac{a\sqrt{6}}{2}=\dfrac{\pi a^2\sqrt{3}}{2}\)

Có thể giải bài toán tổng quát: Cho \(a< b< c\). Tìm GTNN của biểu thức \(f\left(x\right)=\left|x-a\right|+\left|x-b\right|+\left|x-c\right|\).

Kí hiệu A, B, C, M là các điểm có hoành độ a, b, c, x tương ứng. Từ giả thiết suy ra B nằm trong đoạn AC. Chú ý rằng \(\left|x-a\right|\) chính là khoảng cách từ M tới A nên:

- Nếu M nằm ngoài đoạn AC thì khoảng cách từ M tới A hoặc C sẽ lớn hơn AC, tức là \(f\left(x\right)>c-a\).

- Nếu M nằm trong đoạn AC thì \(f\left(x\right)=MA+MC+MB=AC+MB\ge AC=c-a\). Đẳng thức chỉ xảy ra khi \(MB=0\Leftrightarrow x=b\).

-Vậy \(minf\left(x\right)=c-a\).

150

(minh k chac nha)

Với điều kiện \(\left(m-2\cos x\right)\left(m-2\sin x\right)\ne0\) (*) phương trình đã cho tương đương với

\(\left(m\sin x-2\right)\left(m-2\sin x\right)=\left(m\cos x-2\right)=\left(m-2\cos x\right)\)

\(\Leftrightarrow m^2\sin x-2m-2m\sin^2x+4\sin x=m^2\cos x-2m-2m\cos^2x+4\cos x\)

\(\Leftrightarrow2m\left(\cos^2x-\sin^2x\right)-m^2\left(\cos x-\sin x\right)-4\left(\cos x-\sin x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\cos x-\sin x\right)\left(2m\left(\cos x+\sin x\right)-m^2-4\right)=0\) (1)

a) Nếu \(m=0\) thì (1) \(\Leftrightarrow\cos x-\sin x=0\)\(\Leftrightarrow\tan x=1\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\). Nghiệm này sẽ không thỏa mãn điều kiện (*) khi và chỉ khi \(\left(m-2\cos\left(\dfrac{\pi}{4}+k\pi\right)\right)\left(m-2\sin\left(\dfrac{\pi}{4}+k\pi\right)\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(0-\left(-1\right)^k\sqrt{2}\right)\left(0-\left(-1\right)^k\sqrt{2}=0\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(-1\right)^k\sqrt{2}=0\) , vô lí.

Vậy khi \(m=0\), phương trình đã cho có nghiệm là \(x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\)

b) Nếu \(m\ne0\) thì (1) tương đương với tập hợp hai phương trình:

\(\tan x=1\) (2) và \(\sqrt{2}\cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{m^2+4}{2m}\)\(\Leftrightarrow\cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{m^2+4}{2m\sqrt{2}}\) (3)

Trong đó phương trình (3) vô nghiệm vì \(\left|\dfrac{m^2+4}{2m\sqrt{2}}\right|=\dfrac{m^2+4}{2\sqrt{2}\left|m\right|}\ge\dfrac{2\sqrt{4m^2}}{2\sqrt{2}\left|m\right|}=\sqrt{2}>1\).

Phương trình (2) có nghiệm là \(x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\). Nghiệm này sẽ không thỏa mãn điều kiện (*) khi và chỉ khi

\(\left(m-2\cos\left(\dfrac{\pi}{4}+k\pi\right)\right)\left(m-2\sin\left(\dfrac{\pi}{4}+k\pi\right)\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left(m-\left(-1\right)^k\sqrt{2}\right)\left(m-\left(-1\right)^k\sqrt{2}=0\right)\)

\(\Leftrightarrow m=\left(-1\right)^k\sqrt{2}\), trái giả thiết \(m\ne\pm\sqrt{2}\).

Tóm lại, trong mọi trường hợp phương trình đã cho có nghiệm \(x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\) Điều kiện \(x\in[20\pi;30\pi]\) tương đương với \(20\pi\le\dfrac{\pi}{4}+k\pi\le30\pi\)\(\Leftrightarrow20-\dfrac{1}{4}\le k\le30-\dfrac{1}{4}\)\(\Leftrightarrow k=21;22;23;...;29\). Số nghiệm của phương trình trong đoạn đang xét là 9.

Để tính toán đơn giản ta hữu tỷ hóa P bằng cách đặt \(t=\sqrt{x}\) thì \(x=t^2\) và

\(P=\left(\dfrac{2t}{t+3}+\dfrac{t}{t-3}-\dfrac{3t^2+3}{t^2-9}\right):\left(\dfrac{2t-2}{t-3}-1\right)\)

\(=\dfrac{2t\left(t-3\right)+t\left(t+3\right)}{\left(t+3\right)\left(t-3\right)}:\dfrac{2t-2-t+3}{t-3}\)

\(=\dfrac{-3\left(t+1\right)}{\left(t+3\right)\left(t-3\right)}.\dfrac{t-3}{t+1}\)

\(=-\dfrac{3}{t+3}\)

Vậy \(P=-\dfrac{3}{\sqrt{x}+3}\)

làm thì dài lắm

Tick cho mk

Đặt \(x=6+2\sqrt{5}=\left(\sqrt{5}+1\right)^2;y=6-2\sqrt{5}=\left(\sqrt{5}-1\right)^2\) thì \(3+\sqrt{5}=\dfrac{x}{2};3-\sqrt{5}=\dfrac{y}{2}\) nên nếu kí hiệu biểu thức đã cho là A thì ta có

\(A=\dfrac{\dfrac{x}{2}}{2\sqrt{2}+\sqrt{\dfrac{x}{2}}}+\dfrac{\dfrac{y}{2}}{2\sqrt{2}-\sqrt{\dfrac{y}{2}}}=\dfrac{x}{4\sqrt{2}+\sqrt{2}\sqrt{x}}+\dfrac{y}{4\sqrt{2}-\sqrt{2}\sqrt{y}}\)

\(=\dfrac{\left(\sqrt{5}+1\right)^2}{4\sqrt{2}+\sqrt{2}\left(\sqrt{5}+1\right)}+\dfrac{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}{4\sqrt{2}-\sqrt{2}\left(\sqrt{5}-1\right)}\)

\(=\dfrac{\left(\sqrt{5}+1\right)^2}{\sqrt{2}\sqrt{5}\left(\sqrt{5}+1\right)}+\dfrac{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}{\sqrt{2}\sqrt{5}\left(\sqrt{5}-1\right)}\)

\(=\dfrac{1}{\sqrt{2}\sqrt{5}}\left(\sqrt{5}+1+\sqrt{5}-1\right)\)

\(=\sqrt{2}\)

Đặt \(t=\sqrt{x}\) thì \(A=\dfrac{t}{t+5};B=\dfrac{2t}{t-4}-\dfrac{t^2+12t}{t^2-16}=\dfrac{2t\left(t+4\right)-t^2-12t}{t^2-16}=\dfrac{t^2-4t}{t^2-16}=\dfrac{t}{t+4}\)

\(\dfrac{A}{B}=\dfrac{t}{t+5}:\dfrac{t}{t+4}=\dfrac{t+4}{t+5}\) (với điều kiện \(t\ne0\)\(\Leftrightarrow x>0\))

1) Khi \(x=4\) thì \(t=2,A=\dfrac{2}{7}\).

2) \(B=\dfrac{t}{t+4}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+4}\).

3) \(\dfrac{A}{B}=\dfrac{5}{6}\Leftrightarrow\dfrac{t+4}{t+5}=\dfrac{5}{6}\)\(\Leftrightarrow6t+24=5t+25\)\(\Leftrightarrow t=1\)\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=1\Leftrightarrow x=1\).

Đặt \(t=\sqrt{x}-1\) ta có \(t>0,\left(\forall x>1\right)\) và \(\sqrt{x}=t+1;x=t^2+2t+1\) từ đó

\(P=\dfrac{t^2+3t+3}{t}=3+\left(t+\dfrac{3}{t}\right)\ge3+2\sqrt{t.\dfrac{3}{t}}=3+2\sqrt{3}\)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

\(\left\{{}\begin{matrix}t>0\\t=\dfrac{3}{t}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow t=\sqrt{3}\) \(\Leftrightarrow x=4+2\sqrt{3}\)

Vậy \(minP=3+2\sqrt{3}\)