Cho phương trình: \(x^2-3y^2+2xy-2x-10y+4\)

a) Tìm nghiệm \(\left(x;y\right)\) của phương trình thỏa mãn: \(x^2+y^2=10\)

b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình đã cho

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thỏa: \(a+b+c=2\)

Chứng minh: \(a^2+b^2+c^2+2abc< 2\)

Cho các số thực dương a, b thỏa mãn \(2a+3b=2019\)

Chứng minh rằng : \(\sqrt{ab+2a+2b+4}+\sqrt{\left(2a+2\right)b}\le1012\)

Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, CA = b, AB = c. Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp, S là diện tích tam giác ABC.

a) Chứng minh : \(S=\dfrac{r\left(a+b+c\right)}{2}\)

b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABC. Biết tam giác ABC là tam giác cân có cạnh đáy bằng 16 cm, cạnh bên bằng 10 cm.

Cho tam giác ABC cân tại A. Hai điểm M và N lần lượt trên AC và AB sao cho AM = 2MC, AN = 2NB và 2 đoạn BM và CN vuông góc với nhau. Chứng minh : \(S_{ABC}=3S_{BCM}\)

Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA và AB lần lượt tại D, E và F. Đặt x = DB , y = DC, z = AE.

a) Tìm hệ thức giữa x,y và z

b) CMR : AB*AC=2BD*CD

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi Q là trung điểm của BC và các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh : AH = 2OQ

b) Chứng minh rằng nếu : AB + AC = 2BC thì sinB + sin C = 2sin A

c) Cho BC = \(R\sqrt{2}\), chứng minh : AE * FH + AF * HE = \(R^2\sqrt{2}\)