Tam giác ABH có BI là phân giác

=> \(\dfrac{HI}{IA}=\dfrac{BH}{AB}\)(1)

Tam giác HBA đồng dạng với tam giác ABC (g-g)

=> \(\dfrac{HB}{AB}=\dfrac{AB}{BC}\)(2)

Mặt khác \(\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AD}{DC}\)(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:

\(\dfrac{HI}{IA}=\dfrac{AD}{DC}\) (đpcm)

Tam giác vuông BNC đồng dạng với tam giác vuông DCF (vì góc DCF = góc BNC so le trong)

=> \(\dfrac{BN}{BC}=\dfrac{DC}{DF}=\dfrac{AB}{AB+BC}\)(1)

Tương tự ta cũng được:

\(\dfrac{DM}{BC}=\dfrac{CM}{EC}=\dfrac{AB}{BE}=\dfrac{AB}{AB+BC}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra:

BN=DM (đpcm)

Không có số nào cả ( 0:0 không được)

không có số nào hết

Ta có:

(a+b+c)-(a-b+c) =-14

<=> a+b+c-a+b-c=-14

<=>2b= -14

<=>b= -7

(a-b+c)-(a-b-c)=12

<=>a-b+c-a+b+c=12

<=> 2c=12

<=> c=6

=> a=-2

Vậy a=-2; b=-7; c=6

S=1.2+2.3+3.4+...+38.39+39.40

<=>3S= 1.2.3 +2.3.3+ 3.4.3 +...+ 38.39.3 + 39.40.3

<=>3S= 1.2.3 + 2.3.(4-1) + 3.4.(5-2) +...+ 38.39.(40-37)+ 39.40.(41-38)

<=>3S= 1.2.3 + 2.3.4- 1.2.3 + 3.4.5 - 2.3.4 + ... + 38.39.40 - 37.38.39 + 39.40.41 - 38.39.40

<=> 3S=39.40.41

<=> S= \(\dfrac{39.40.41}{3}\)

<=>S=21320

\(P=\frac{6n+5}{3n+2}=\frac{2\left(3n+2\right)+1}{3n+2}=2+\frac{1}{3n+2}\)

Để P đạt GTLN thì 3n+2 phải đạt GTNN

Mà n là số tự nhiên nên n nhỏ nhất là 0

=> 3n+2 \(\ge\)2

Vậy với n= 0 thì P đạt GTLN

GTLN của P là \(\frac{5}{2}\).

Tổng các chữ số của 888...8 là 8n

=> 8n-9+n=9n-9=9(n-1) chia hết cho 9

=> đpcm

4.2ⁿ.3ⁿ⁺²=24¹⁵:4¹⁵

<=>2ⁿ⁺².3ⁿ⁺²=6¹⁵

<=> 6ⁿ⁺²=6¹⁵

<=>n+2 = 15

<=> n=15-2=13

Vậy n = 13

Đặt A= 1+2+2²+2³+...+2²⁰¹⁵

<=> 2A=2+2²+2³+...+2²⁰¹⁶

2A-A=(2+2²+2³+...+2²⁰¹⁶)-(1+2+2²+...+2²⁰¹⁵)

<=> A=2²⁰¹⁶-1

B =\(\frac{1+2+2^2+2^3+...+2^{2015}}{1-2^{2016}}\)

=\(\frac{2^{2016}-1}{1-2^{2016}}\)

=\(\frac{-\left(1-2^{2016}\right)}{1-2^{2016}}\)

=-1

Vậy B=-1