a. Do \(\left(-2\right)+1-3+1=-3< 0\)

    và  \(4+\left(-5\right)-6+1=-6< 0\)

nên A, B  ở về cùng 1 phía của mặt phẳng (P). Do đó điểm \(C\in\left(P\right)\) sao cho \(CA+CB\) nhỏ nhất chính là giao điểm của đoạn AB với mặt phẳng (P), trong đó A' là điểm đối xứng với A qua mặt phẳng (P)

Giả sử \(A'\left(x;y;z\right)\) do A' đối xứng với A qua mặt phẳng (P) nên ta có hệ phương trình :

\(\begin{cases}\frac{x-2}{2}+\frac{y+2}{2}-\frac{zx+2}{2}+1=0\\\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-3}{-1}\end{cases}\)

Giải hệ ta được \(x=0;y=3;z=1\)

Do đó \(A'\left(0;3;1\right)\)

Gọi \(C\left(x;y;z\right)\) là giao điểm của A'B với (P). Khi đó tọa độ của C' thỏa mãn phương tringf của (P) và hai vecto \(\overrightarrow{A'C};\overrightarrow{A'B}\) cùng phương. Do đó, ta có hệ phương trình :

\(\begin{cases}x+y-z+1=0\\\frac{x-0}{4-0}=\frac{y-3}{-5-3}=\frac{z-1}{6-1}\end{cases}\)

Từ phương trình thứ 2 suy ra \(y=-2x+3\) và \(z=\frac{5}{4}x+1\)

Thay vào phương trình thứ nhất ta được \(x=\frac{3}{4}\). Từ đó tìm được \(y=\frac{3}{2}\) và \(z=\frac{31}{16}\)

Vậy điềm \(C\) cần tìm là \(C\left(\frac{3}{4};\frac{3}{2};\frac{31}{16}\right)\)

b. Gọi I là trung điểm của AB. Khi đó \(I\left(1;-2;\frac{9}{2}\right)\) và với mọi điểm D đều có \(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}=2\overrightarrow{DI}\)

Vậy \(D\in\left(P\right):\left|\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}\right|\) bé nhất \(\Leftrightarrow\) D là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P)

Gọi \(\left(x;y;z\right)\) là tọa độ của hình chiếu điểm I trên (P). Khi đó ta có hệ phương trình :

\(\begin{cases}x+y-z+1=0\\\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-\frac{9}{2}}{-1}\end{cases}\)

Giải hệ ta thu được : 

\(x=\frac{5}{2};y=-\frac{1}{2};z=3\)

Vậy điểm \(D\in\left(P\right)\) sao cho \(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}\) có độ dài nhỏ nhất là \(D\left(\frac{5}{2};-\frac{1}{2};3\right)\)

Khi Pháp kéo quân ra Hà Nội lần thứ hai, ai là người trấn thủ thành Hà Nội ?

A. Hoàng Diệu

B. Nguyễn Tri Phương

C. Tôn Thất ThuyếtD. Phan Thanh Giản

D. Phan Thanh Giản

-Những việc làm :

+Thống nhất đất nước Đinh Bộ Lĩnh lên Ngôi Hoàng đế (968) đặt tên nước là đại cồ việt đóng đô ở hoa lư, lập niên hiệu là thái bình

+Phong Vương cho các con, , trọng dụng tướng có tài có công như ĐInh Điền, Nguyễn Bậc, Lê Hoàn

+Thống nhất tiền tệ 

+xử phạt nghiêm minh những kẻ có tội 

-Ý nghĩa

+Củng cố nền độc lộc tự chủ

+Khẳng định chủ quyền quốc gia 

+Tự hào nước ta là nước có chủ quyền

-Diễn biến :

+Đầu năm 981 . quân tống theo hai đường thủy - bộ tiến đánh nước ta.

+Lê Hoàn trực tiếp tổ chức và lãnh đạo cho cuộc kháng chiến, ông cho quân đọc cọc ở sông Bạch Đằng chặn đánh thuyền chiến của địch buộc quân Tống phải rút lui,

+Trên bộ quân ta đánh quyết liệt địch bị tổn thất nặng buộc phải rút lui quân về nước 

-Kết quả: Quân tống đánh bại giang sơn đất nước được giữ vững..........

-Ý nghĩa:

+Khặng định ta có đủ khả năng kháng chiến chống ngoại xâm bảo vệ chính quyền non trẻ.

+Thể hiện ý chí quyết tâm chống ngoại xâm của nhân dân ta

+Đánh bại âm mưu xâm lượt của kẻ thù củng cố nền độc lập

Người da đen ở Mỹ phải đối mặt với nạn gì?

A. Thất nghiệp.

B. Phân biệt chủng tộc

C. Bất công xã hội

D. Thất nghiệp và bất công xã hội

Một mạch chọn sóng là mạch dao động LC có L = 2mH, C = 8pF. Lấy π 2 =10. Mạch trên thu được sóng vô tuyến có bước sóng nào dưới đây ?

A.120m

B. 12m

C. 24m

D. 240m

Do \(\left(P\right)\perp\left(Q\right)\) và \(\left(P\right)\cap\left(Q\right)=\Delta\)

và \(DB\perp\left(\Delta\right)\left(DB\in\left(Q\right)\right)\)

Nên \(DB\perp\left(P\right)\Rightarrow DB\perp BC\)

Tương tự ta có :

                \(CA\perp AD\)

Vì \(\widehat{CAD}=\widehat{DBC}=90^0\) nên CD chính là  đường kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Gọi R là bán kính của hinh cầu này thì :

                \(R=\frac{1}{2}CD\)  (1)

Theo định lý Pitagoc trong 2 tam giác vuông CAD, ABD ta có :

        \(CD^2=CA^2+AD^2=CA^2+BA^2+BD^2=3a^2\)

                                         \(\Rightarrow CD=a\sqrt{3}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(R=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Ta có :

\(2\log_45=\log_25\)

\(\log_{\sqrt{2}}\frac{4}{\sqrt{3}}=\log_2\frac{4}{\sqrt{3}}=\log_2\frac{16}{3}\)

\(\log_9\frac{1}{4}=\log_{3^2}\left(\frac{1}{2}\right)^2=\log_3\frac{1}{2}\)

Mà :

\(\begin{cases}\frac{1}{2}< \frac{\pi}{4}\Rightarrow\log_3\frac{1}{2}< \log_3\frac{\pi}{4}\\\log_3\frac{\pi}{4}< 0< \log_25\\5< \frac{16}{3}\Rightarrow\log_25< \log_2\frac{16}{3}\end{cases}\)  \(\Rightarrow\log_3\frac{1}{2}< \log_3\frac{\pi}{4}< \log_25< \log_2\frac{16}{3}\)

Hay : 

\(\log_9\frac{1}{4}< \log_3\frac{\pi}{4}< 2\log_45< \log_{\sqrt{2}}\frac{4}{\sqrt{3}}\)

Vậy thứ tự giảm dần là :

\(\log_{\sqrt{2}}\frac{4}{\sqrt{3}};2\log_45;\log_3\frac{\pi}{4};\log_9\frac{1}{4}\)

a. \(\log_{2011}2012\)  và \(\log_{2012}2013\)

Ta luôn có : \(\log_n\left(n+1\right)>\log_{n+1}\left(n+2\right)\) với mọi \(n>1\) (*)

Thật vậy : 

- Ta có : \(\left(n+1\right)^2=n\left(n+2\right)+1>n\left(n+2\right)>1\Rightarrow\log_{n+1}\left(n+1\right)^2>\log_{n+1}\left[n\left(n+2\right)\right]\)

hay :

\(2>\log_{n+1}n+\log_{n+1}\left(n+2\right)\) (1)

- Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy, ta có : 

\(\log_{n+1}n+\log_{n+1}\left(n+1\right)>2\sqrt{\log_{n+1}n.\log_{n+1}\left(n+2\right)}\)  (2)

((2) không xảy ra dấu "=" vì \(\log_{n+1}n\ne\log_{n+1}\left(n+2\right)\) )

- Từ (1) và (2) \(\Rightarrow2>2\sqrt{\log_{n+1}n.\log_{n+1}\left(n+2\right)}\)

                      \(\Rightarrow1>\log_{n+1}n.\log_{n+1}\left(n+2\right)\)

                      \(\Leftrightarrow\frac{1}{\log_{n+1}n}>\log_{n+1}\left(n+2\right)\)

                      \(\Leftrightarrow\log_n\left(n+1\right)>\log_{n+1}\left(n+2\right)\)

Áp dụng (*) với \(n=2011\Rightarrow\log_{2011}2012>\log_{2012}2013\)

b. \(\log_{13}150\) và \(\log_{17}290\)

Ta có : \(\log_{12}150< \log_{13}169=2=\log_{17}289< \log_{17}290\Rightarrow\log_{13}150< \log_{17}290\)

c. \(\log_34\) và \(\log_{10}11\)

Ta luôn có : \(\log_a\left(a+1\right)>\log_{a+1}\left(a+2\right)\) với \(0< a\ne1\) (*)

Tương tự câu (a), áp dụng liên tiếp (*) ta được :

\(\log_34>\log_45>\log_56>\log_67>\log_78>\log_89>\log_910>\log_{10}11\)

hay \(\log_34>\log_{10}11\)