Cho đường tròn O. 1 điểm A nằm ngoài đường tròn, kẻ đường thẳng AO cắt đường tròn O tại B và C (B nằm giữa A và C, Ab>R). Kẻ cát tuyến DE với đường tròn O (D nằm giữa A và E, AD>DE). Đường thẳng vuông góc với AC tại A cắt tia CE tại P. Tia PB cắt đường tròn O tại M và cắt AE tại N.
a) Chứng minh tứ giác APEB nội tiếp đường tròn, từ đó suy ra tam giác PNA đồng dạng với tam giác ENB.
b) Chứng minh DM//AP
c) Kẻ tia Ex//DM và Ex cắt AM tại Q. Chứng minh điểm Q thuộc đường tròn O
d) DM cắt BC tại I. Chứng minh đường thẳng MB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác IMC.
Cho đường tròn (O,R) và điểm A ở ngoài đường tròn. Qua A kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (B và C là 2 tiếp điểm). I là 1 điểm thuộc đoạn BC (IB<IC). Kẻ đường thẳng d vuông góc với OI tại I. Đường thẳng d cắt AB, AC lần lượt tại E và F.
a) Chứng minh: OIBE và OIFC là các tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh: IE = IF
c) K là một điểm trên cung nhỏ BC. Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại K cắt AB, AC tại M và N. Tính chu vi tam giác AMN nếu OA = 2R
d) Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt AB, AC tại P và Q. Tìm vị trí của A để diện tích tam giác APQ nhỏ nhất