\(\) Bán kính đường tròn: \(R = OB = OC = \frac{BC}{2} = \frac{30}{2} = 15\text{ cm}\)
Vì \(A\) thuộc đường tròn \(\left(O\right)\) có đường kính \(BC\) , nên \(\triangle ABC\) nội tiếp đường tròn đường kính \(BC\)
\(\implies\triangle ABC\) vuông tại \(A\quad(\widehat{BAC}=90^{\circ})\)
Áp dụng định lý Pythagore trong \(\triangle ABC\) vuông tại \(A:\)
\(AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{30^2 - 18^2} = \sqrt{900 - 324} = \sqrt{576} = 24\text{ cm}\)
Theo giả thiết: đường thẳng qua \(O\) song song với \(AB \implies OH \parallel AB\)
Mà \(AB \perp AC\) ( \(\triangle ABC\) vuông tại \(A\) )
\(\implies OH \perp AC\) tại \(H\) \(\left(\widehat{AHI}=90^{\circ}\right)\)
Trong \(\triangle ABC\) , ta có:
\(O\) là trung điểm của \(BC\) ( tâm đường tròn )
\(OH\parallel AB\left(\operatorname{cm}t\right)\)
\(\implies OH\) là đường trung bình của \(\triangle ABC\)
Do đó \(H\) là trung điểm của cạnh \(AC\)
\(\Longrightarrow AH=HC=\frac{AC}{2}=\frac{24}{2}=12\text{ cm}\)
\(OH = \frac{1}{2}AB = \frac{18}{2} = 9\text{ cm}\)
Vì \(IC\) là tiếp tuyến tại \(C\) của đường tròn \(\left(O\right)\) , ta có:
\(IC \perp OC \implies \widehat{OCI} = 90^\circ\)
Xét \(\triangle OCI\) vuông tại \(C\) có đường cao \(CH\left(OH\perp AC\implies CH\perp OI\right)\)
Áp dụng hệ thức lượng \((b^2=ab^{\prime}):\)
\(OC^2 = OH \cdot OI\)
\(15^2 = 9 \cdot OI \implies 225 = 9 \cdot OI \implies OI = \frac{225}{9} = 25\text{ cm}\)
\(HI = OI - OH = 25 - 9 = 16\text{ cm}\)
Xét \(\triangle AHI\) vuông tại \(H\) :
Áp dụng định lý Pythagore trong \(\triangle AHI\) :
\(AI = \sqrt{AH^2 + HI^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20\text{ cm}\)
Vậy độ dài \(AI\) là \(20\operatorname{cm}\)
