c) Vì ABCD là hình vuông tâm O nên AC⊥BD tại O
=> góc DOG = 90 độ
Xét ∆DOG vuông tại O, có:
góc ODG + góc DGO = 90 độ
Xét ∆OHG vuông tại H, có:
góc HOG + góc HGO = 90 độ
Mà góc DGO và góc HGO trùng nhau
=> góc ODG = góc HOG
=> góc IDO = góc KOP
Xét ∆JPG và ∆OHG, có:
góc IPG = góc OHG = 90 độ
góc IGP = góc OGH (đối đỉnh)
=> ∆IPG ~ ∆OHG (g.g)
=>\(\frac{GP}{GI}=\frac{HG}{OG}\) (1)
Xét ∆OHG và ∆DOG, có:
góc OHG = góc DOG = 90 độ
OGH là góc chung
=> ∆OHG ~ ∆DOG (g.g)
=> \(\frac{HG}{OG}=\frac{OG}{DG}\) (2)
Từ (1)(2) suy ra \(\frac{GP}{GI}=\frac{OG}{DG}\Rightarrow\frac{GP}{OG}=\frac{GI}{DG}\)
cộng thêm 1 vào mỗi vế, ta có:
\(\frac{GP+OG}{OG}=\frac{DG+GI}{DG}\)
=> \(\frac{OP}{OG}=\frac{DI}{DG}\)
=> \(\frac{OP}{DI}=\frac{OG}{DG}\)
Mặt khác từ ∆OPK ~ ∆DOI, có:
góc KOP = góc IDO
\(\frac{OP}{DO}=\frac{OK}{DI}\)
=> ∆OPK ~ ∆DOI (c.g.c)
Gọi S là giao điểm của KP và IO
=> góc OKP = góc DIO
Xét ∆OKS, có:
góc KSO = 180 độ - (góc OKS + góc KOS)
Mà góc OKP = góc DIO (hay góc OKP = góc OKS) thay vào, ta có:
góc KSO = 180 độ - 90 độ
=> góc KSO = 90 độ
=> KS⊥IO
Mà S nằm trên KP
=> KP⊥IO (đpcm)