Tia sáng tới (SI): Tia sáng này hợp với mặt gương một góc (30^\circ). Do đó, góc tới ((i)) so với phương ngang là: [ i = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ ]

Góc phản xạ (r): Theo định luật phản xạ, góc phản xạ bằng góc tới. Vì vậy, khi gương ở vị trí ban đầu, góc phản xạ cũng sẽ là: [ r = i = 60^\circ ]

Mục tiêu: Tia phản xạ cần có phương nằm ngang. Do đó, góc phản xạ (r) phải bằng (0^\circ) khi so với phương ngang.

Sự thay đổi của gương: Nếu quay gương một góc (\theta) so với vị trí ban đầu, thì góc phản xạ sẽ thay đổi. Cụ thể, khi gương quay (\theta) thì góc phản xạ ((r')) khi đó sẽ là: [ r' = r - 2\theta ] Bởi vì khi gương quay, góc phản xạ sẽ giảm đi gấp đôi góc mà gương quay.

Điều kiện: Chúng ta cần có: [ r' = 0^\circ \implies 60^\circ - 2\theta = 0^\circ ]

Giải phương trình: [ 60^\circ - 2\theta = 0 \implies 2\theta = 60^\circ \implies \theta = 30^\circ ]

Vậy, để tia phản xạ có phương nằm ngang, cần phải quay gương một góc (30^\circ) so với vị trí ban đầu.

Chia 7 viên bi thành 3 nhóm:

Cân hai nhóm đầu tiên:

Trường hợp 1: Cân bằng:

Trường hợp 2: Không cân bằng:

s=v.t = 340.1=340 m (tổng quãng đường)

vì âm thanh khi truyền sẽ phản xạ lại tai người  => kcach = 340/2 =170m

Chúng ta sẽ sử dụng các số nguyên tố nhỏ. Các số nguyên tố đầu tiên là: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

Chúng ta sẽ thử chọn ba số nguyên tố và tính tổng bình phương của chúng. Nếu tổng đó là một số nguyên tố thì chúng ta đã tìm được đáp án.

Tổ hợp 1: (x = 2), (y = 3), (z = 5) [ A = 2^2 + 3^2 + 5^2 = 4 + 9 + 25 = 38 \quad (\text{38 không phải là số nguyên tố}) ]

Tổ hợp 2: (x = 2), (y = 3), (z = 7) [ A = 2^2 + 3^2 + 7^2 = 4 + 9 + 49 = 62 \quad (\text{62 không phải là số nguyên tố}) ]

Tổ hợp 3: (x = 3), (y = 5), (z = 7) [ A = 3^2 + 5^2 + 7^2 = 9 + 25 + 49 = 83 \quad (\text{83 là số nguyên tố}) ]

Ở đây, tổ hợp (x = 3), (y = 5), (z = 7) cho tổng bình phương là (83), mà (83) là một số nguyên tố.

Tổ hợp (x = 3), (y = 5), (z = 7) đáp ứng điều kiện đã cho. Vậy, ba số nguyên tố mà bạn cần là:

Tổng bình phương là (A = 83), và (83) là số nguyên tố.

Ta cần tìm số tự nhiên ( n ) sao cho ( n + 1995 ) và ( n + 2014 ) đều là số chính phương. Đặt:

n+1995=a2vaˋn+2014=b2

Trong đó ( a ) và ( b ) là các số nguyên. Ta có:

b2−a2=19

Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương:

(b−a)(b+a)=19

Vì 19 là số nguyên tố, nên chỉ có thể có các cặp số:

Xét trường hợp ( b - a = 1 ) và ( b + a = 19 ):

Giải hệ phương trình này:

b−a=1

b+a=19

Cộng hai phương trình:

2b=20⇒b=10

Thay ( b = 10 ) vào phương trình ( b - a = 1 ):

10−a=1⇒a=9

Vậy ( a = 9 ) và ( b = 10 ). Thay vào phương trình ( n + 1995 = 81 ):

n+1995=81⇒n=81−1995=−1914

Vì ( n ) phải là số tự nhiên, nên không có giá trị ( n ) thỏa mãn điều kiện này.

Kết luận: Không tồn tại số tự nhiên ( n ) nào để ( n + 1995 ) và ( n + 2014 ) đều là số chính phương.