Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) . Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(B'A' \) và \(B'B\) . Mặt phẳng \((P)\) đi qua \(MN\) và tạo với mặt phẳng \((ABB'A')\) 1 góc \(\alpha\) sao cho \(\tan\alpha=\sqrt{2}\) . Biết \((P)\) cắt các cạnh \(DD'\) và \(DC\) . Khi đó mặt phẳng \((P)\) chia khối lập phương thành 2 phần, gọi thể tích phần chứa điểm A là \(V_1\) và phần còn lại là \(V_2\) . Tính tỉ số \(\dfrac{V_1}{V_2}\) 

Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) có đạo hàm trên \(R\) thỏa mãn:\(\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{3f\left(h\right)-1}{6h}=\dfrac{2}{3}\) và \(f\left(x_1+x_2\right)=f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)+2x_1x_2\left(x_1+x_2\right)-\dfrac{1}{3},\forall x_1,x_2\in R\) . Tính \(f\left(2\right)\) .

Tìm tất cả các giá trị nguyên của \(m\) trên \(\left(-2021;2021\right)\) thỏa mãn:\(\left(\sqrt{m^2-2m+4}+1-m\right)\left(\sqrt{4^m+3}-2^m\right)\ge3\)

Cho hàm số \(f\left(x\right)\) liên tục trên \(R\) và có bảng xét dấu đạo hàm \(f'\left(x\right)\) như hình bên:

Tính số điểm cực trị của hàm số \(g\left(x\right)=f\left(x^2-2x+1-\left|x-1\right|\right)\)

Trên một sợi dây có hai đầu cố định, đang có sóng dừng với biên độ dao động của bụng sóng là 4 cm. Khoảng cách giữa hai đầu dây là 60 cm, sóng truyền trên dây có bước sóng là 30 cm. Gọi M và N là hai điểm trên dây mà phần tử tại đó dao động với biên độ lần lượt là \(2\sqrt{2}\) cm và \(2\sqrt{3}\) cm. Gọi \(d_{max}\) là khoảng cách lớn nhất giữa M và N, \(d_{min}\) là khoảng cách nhỏ nhất giữa M và N. Tính tỉ số \(\dfrac{d_{max}}{d_{min}}\) .

Cho hinh chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) cắt SA, SB, SC, SD tại A', B', C', D'. CMR: \(\dfrac{SA}{SA'}+\dfrac{SB}{SB'}=\dfrac{SC}{SC'}+\dfrac{SD}{SD'}\)