Bài 1: Vectơ trong không gian

Cho khối tứ diện ABCD. Gọi P là trung điểm AC, Q là trung điểm BD. Tìm hệ thức đúng.

1. \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}=4\overrightarrow{PQ}\).
2. \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{PQ}\).
3. \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}=3\overrightarrow{PQ}\).
4. \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{PQ}\).

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Tìm hệ thức sai trong số các hệ thức dưới đây.

1. \(\overrightarrow{AC'}+\overrightarrow{CA'}+2\overrightarrow{C'C}=\overrightarrow{0}\).
2. \(\overrightarrow{AC'}+\overrightarrow{A'C}=2\overrightarrow{AC}\).
3. \(\overrightarrow{AC'}+\overrightarrow{A'C}=\overrightarrow{A'A}\).
4. \(\overrightarrow{CA'}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CC'}\).

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Gọi I là tâm của mặt CDD'C'. Tìm hệ thức liên quan giữa \(\overrightarrow{AI}\) với các vectơ \(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AA'}\) .

1. \(\overrightarrow{AI}=\dfrac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AA'}}{2}+\overrightarrow{AD}\).
2. \(\overrightarrow{AI}=\dfrac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}}{2}+\overrightarrow{AA'}\).
3. \(\overrightarrow{AI}=\dfrac{\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{AD}}{2}+\overrightarrow{AB}\).
4. \(\overrightarrow{AI}=\dfrac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AA'}+AD}{2}\).

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Gọi O là tâm của hình lập phương. Tìm hệ thức giữa \(\overrightarrow{AO}\) và các vectơ \(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AA'}\) .

1. \(\overrightarrow{AO}=\dfrac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}}{3}\).
2. \(\overrightarrow{AO}=\dfrac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}}{4}\).
3. \(\overrightarrow{AO}=\dfrac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}}{2}\).
4. \(\overrightarrow{AO}=\dfrac{2\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}\right)}{3}\).

Cho tứ diện ABCD. M là trung điểm AC, N là trung điểm BD. Hãy chọn hệ thức sai trong số các hệ thức dưới đây.

1. \(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MN}\).
2. \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{MN}\).
3. \(\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{NA}=2\overrightarrow{MN}\).
4. \(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{MN}\).

Cho ba điểm thẳng hàng A, B, C và một điểm M tùy ý trong không gian. Tìm hệ thức đúng.​

1. \(2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}\).
2. \(2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\).
3. \(2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\).
4. \(2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AC}-3\overrightarrow{AB}\).

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Biết AC' cắt mặt phẳng (A'BD) tại E , cắt mặt phẳng (CB'D') tại F. Xác định hệ thức sai.

1. \(\overrightarrow{EA'}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{0}\).
2. \(\overrightarrow{FC}+\overrightarrow{FD'}+\overrightarrow{FB'}=\overrightarrow{0}\).
3. \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}=2\overrightarrow{AC'}\).
4. \(\overrightarrow{EF}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC'}\).

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Hãy chọn hệ thức sai.

1. \(\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC'}\).
2. \(\overrightarrow{A'B'}+\overrightarrow{A'D'}+\overrightarrow{A'A}=\overrightarrow{AC'}\).
3. \(\overrightarrow{C'D'}+\overrightarrow{C'B'}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{C'A}\).
4. \(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{D'B}\).

Cho tứ diện ABCD. G là trọng tâm của tứ diện. A' là trọng tâm của tam giác BCD. M là một điểm tùy ý trong không gian. Khẳng định nào sau đây sai?

1. \(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=3\overrightarrow{GA'}\).
2. \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{O}\).
3. \(\overrightarrow{AA'}=3\overrightarrow{AG}\).
4. \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MG}\).

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi I và K lần lượt là tâm của hình bình hành ABB'A' và BCC'B'. Khẳng định nào sau đây sai ?​

1. \(\overrightarrow {IK} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {A'C'} \).
2. \(\overrightarrow {BD} + 2\overrightarrow {IK} = 2\overrightarrow {BC} \).
3. Bốn điểm I, K ,C , A đồng phẳng.
4. Ba vectơ \(\overrightarrow{BD};\overrightarrow{IK};\overrightarrow{B'C'}\) không đồng phẳng.

Cho tứ diện ABCD. Người ta định nghĩa "G là trọng tâm tứ diện ABCD khi và chỉ khi \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}\) ". Khẳng định nào sau đây là sai?

1. G là trung điểm của đoạn IJ (I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD).
2. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AB và CD.
3. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AD và BC.
4. Chưa thể xác định được.

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tâm O. Đặt \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\, \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}\). M là điểm xác định bởi \(\overrightarrow{OM}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)\) . Khẳng định nào sau đây là đúng?

1. M là tâm hình bình hành ABB'A'.
2. M là tâm hình bình hành BCC'B'.
3. M là trung điểm BB'.
4. M là trung điểm CC'.

Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD. Đặt \(\overrightarrow x = \overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {\,y} = \overrightarrow {AC} ,\,\,\overrightarrow z = \overrightarrow {AD} \). Khẳng định nào sau đây là đúng?

1. \(\overrightarrow {AG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow x + \overrightarrow y + \overrightarrow z } \right)\).
2. \(\overrightarrow{AG}=-\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}+\overrightarrow{z}\right)\).
3. \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\left(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}+\overrightarrow{z}\right)\).
4. \(\overrightarrow{AG}=-\dfrac{2}{3}\left(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}+\overrightarrow{z}\right)\).

Gọi O là tâm của hình hộp ABCD. A'B'C'D và I' là tâm hình bình hành A'B'C'D'. Đặt \(\overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{u};\overrightarrow{CA'}=\overrightarrow{v};\overrightarrow{BD'}=\overrightarrow{x};\overrightarrow{DB'}=\overrightarrow{y}.\) Khẳng định nào dưới đây là đúng?

1. \(2\overrightarrow {OI'} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow u + \overrightarrow v + \overrightarrow x + \overrightarrow y } \right)\).
2. \(2\overrightarrow {OI'} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow u + \overrightarrow v + \overrightarrow x + \overrightarrow y } \right)\).
3. \(2\overrightarrow {OI'} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow u + \overrightarrow v + \overrightarrow x + \overrightarrow y } \right)\).
4. \(2\overrightarrow {OI'} = - \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow u + \overrightarrow v + \overrightarrow x + \overrightarrow y } \right)\).

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, và Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, và DA. Vectơ \(\overrightarrow{MN}\) cùng với hai vectơ nào sau đây là ba vectơ đồng phẳng?

1. \(\overrightarrow{MA}\) và \(\overrightarrow{MQ}\).
2. \(\overrightarrow{MD}\) và \(\overrightarrow{MQ}\).
3. \(\overrightarrow{AC}\) và \(\overrightarrow{AD}\).
4. \(\overrightarrow{MP}\) và \(\overrightarrow{CD}\).

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, và Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, và DA. Vectơ \(\overrightarrow{AC}\) cùng với hai vectơ nào sau đây là ba vectơ không đồng phẳng?

1. \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AD}\).
2. \(\overrightarrow{MN}\) và \(\overrightarrow{AD}\).
3. \(\overrightarrow{QM}\) và \(\overrightarrow{BD}\).
4. \(\overrightarrow{QP}\) và \(\overrightarrow{CD}\).

Cho ba vectơ \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\). Điều kiện nào sau đây không kết luận được ba vectơ đó đồng phẳng?

1. Một trong ba vectơ đó bằng \(\overrightarrow{0}\).
2. Có hai trong ba vectơ đó cùng phương.
3. Có một vectơ không cùng hướng với hai vectơ còn lại.
4. Có hai trong ba vectơ đó cùng hướng.

Ba vectơ \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\) không đồng phẳng nếu

1. ba đường thẳng chứa chúng không cùng một mặt phẳng.
2. ba đường thẳng chứa chúng cùng thuộc một mặt phẳng.
3. ba đường thẳng chứa chúng không cùng song song với một mặt phẳng.
4. ba đường thẳng chứa chúng cùng song song với một mặt phẳng.

Cho tứ diện ABCD với G là trọng tâm và các điểm M, N, P, Q, I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, AD, AC, BD. Những vectơ khác 0→ bằng nhau là

1. \(\overrightarrow{MN},\overrightarrow{CI},\overrightarrow{QP}\).
2. \(\overrightarrow{MI},\overrightarrow{IQ},\overrightarrow{QM}\).
3. \(\overrightarrow{MQ},\overrightarrow{NP},\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CD}\right)\).
4. \(\overrightarrow{MQ},\overrightarrow{NP},\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}\right)\).

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ với G là trọng tâm của tam giác A’B’C’. Đặt AA'→ = a→, AB→ = b→, AC→ = c. Vectơ AG→ bằng

1. \(\overrightarrow{a}+\dfrac{1}{6}\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)\).
2. \(\overrightarrow{a}+\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)\).
3. \(\overrightarrow{a}+\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)\).
4. \(\overrightarrow{a}+\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)\).