Với giá trị nào của \(a\) thì hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=1\\x-y=2a-1\end{matrix}\right.\) có nghiệm \(\left(x;y\right)\) với \(xy\) lớn nhất?
\(a=\dfrac{1}{4}\).\(a=\dfrac{1}{2}\).\(a=-\dfrac{1}{2}\).\(a=1\).Hướng dẫn giải:\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=1\\x-y=2a-1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=1\\2x=2a\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=a\\y=1-a\end{matrix}\right.\)
Do đó \(xy=a\left(1-a\right)=-a^2+a=-\left(a^2-a+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{1}{4}\)
\(=-\left(a-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}\) \(\le\dfrac{1}{4},\forall a\) (do \(\left(a-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0,\forall a\))
Suy ra x.y lớn nhất bằng \(\dfrac{1}{4}\) đạt được khi \(a=\dfrac{1}{2}\).