Viết phương trình parabol có đỉnh S nằm trên đường thẳng x = 1; trục đối xứng song song với Ox và qua hai điểm A(2;-3) và B(5;3).
\(\left(y-1\right)^2=4\left(x+1\right)\) và \(\left(y-9\right)^2=36\left(x+1\right)\) \(\left(y+1\right)^2=4\left(x-1\right)\) và \(\left(y+9\right)^2=36\left(x-1\right)\) \(\left(y+1\right)^2=4\left(x-1\right)\) và \(\left(y+9\right)^2=36\left(x+1\right)\) \(\left(y-1\right)^2=4\left(x-1\right)\) và \(\left(y-9\right)^2=36\left(x-1\right)\) Hướng dẫn giải:Đỉnh S nằm trên đường thẳng \(x=1\) nên đỉnh S có tọa độ dạng \(S\left(1;s\right)\). Trục đối xứng của parabol phải đi qua đỉnh S và song song với Ox (vì theo giả thiết trục đối xứng song song với Ox). Do đó thực hiện phép chuyển hệ tọa độ Oxy thành hệ tọa độ SXY, phương trình chuyển trục là \(\left\{{}\begin{matrix}X=x-1\\Y=y-s\end{matrix}\right.\). Trong hệ tọa độ SXY, parabol đã cho có dạng \(Y^2=2pX\) (p là tham số tiêu.
Trong hệ trục tọa độ mới, hai điểm A(2;-3), B(5;3) có tọa độ \(\left\{{}\begin{matrix}X_A=x_A-1=2-1=1\\Y_A=y_A-s=-3-s\end{matrix}\right.\) và \(\left\{{}\begin{matrix}X_B=x_B-1=5-1=4\\Y_B=y_B-s=3-s\end{matrix}\right.\). Các tọa độ này của A và B phải thỏa mãn phương trình của parabol \(Y^2=2pX\) tức là \(\left\{{}\begin{matrix}\left(-3-s\right)^2=2p.1\\\left(3-s\right)^2=2p.4\end{matrix}\right.\). Giải hệ phương trình hai ẩn này ta được \(s=-1;p=2\) và \(s=-9;p=18\).
Vậy có 2 parabol thỏa mãn các điều kiện trên:
- Với \(p=2;s=-1\): \(Y^2=2pX=4X\Leftrightarrow\left(y-\left(-1\right)\right)^2=4\left(x-1\right)\Leftrightarrow\left(y+1\right)^2=4\left(x-1\right)\)
- Với \(p=18;s=-9\): \(Y^2=2pX=36X\Leftrightarrow\left(y-\left(-9\right)\right)^2=36\left(x-1\right)\Leftrightarrow\left(y+9\right)^2=36\left(x-1\right)\)
