Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai ?
\(ab\left(a+b\right)\le a^3+b^3;\left(a+b>0\right)\).\(a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\).\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\le a+b+c;\left(a,b,c>0\right)\).\(\left(a+b\right)\left(ab+1\right)\ge4ab\left(a,b\ge0\right)\).Hướng dẫn giải:Ta có \(x^2+y^2+z^2=\dfrac{x^2+y^2}{2}+\dfrac{y^2+z^2}{2}+\dfrac{z^2+x^2}{2}\) \(\ge xy+yz+zx,\forall x,y,z\).
Do đó \(\forall a,b,c>0\) có \(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}=\left(\sqrt{\dfrac{ab}{c}}\right)^2+\left(\sqrt{\dfrac{bc}{a}}\right)^2+\left(\sqrt{\dfrac{ca}{b}}\right)^2\)\(\ge b+c+a\) . Vì vậy
khẳng định " \(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\le a+b+c;\left(a,b,c>0\right)\) " nói chung không đúng, chẳng hạn với \(a=1,b=2,c=3\) thì \(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}=\dfrac{49}{6}=8\dfrac{1}{6}\) \(>\left(a+b+c\right)=6\).
Vậy " \(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\le a+b+c;\left(a,b,c>0\right)\) " là khẳng định sai.
Có thể kiểm tra (nhưng học sinh không phải làm điều này) rằng các khẳng định còn lại đều đúng:
+ \(\left(a^3+b^3\right)-ab\left(a+b\right)=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2-ab\right)=\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\) do giả thiết \(a+b>0\).
+ \(\left(a^4+b^4\right)-\left(a^3b+ab^3\right)=\left(a^4-a^3b\right)+\left(b^4-ab^3\right)=\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)=\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)
với mọi \(a,b\) .
+ Với mọi \(a,b\) không âm luôn có \(\left(a+b\right)\left(ab+1\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{ab.1}=4ab\). Do đó
\(\left(a+b\right)\left(ab+1\right)\ge4ab\left(\forall a,b\ge0\right)\)