Tính \(\lim\limits\dfrac{1+a+a^2+....+a^n}{1+b+b^2+...+b^n}\) biết rằng \(\left|a\right|< 1;\left|b\right|< 1\).
\(\dfrac{b}{a}\).\(\dfrac{1+b}{1+a}\).\(\dfrac{1-b}{1-a}\).\(\dfrac{1-a}{1-b}\).Hướng dẫn giải:Áp dụng công thức tính tổng các số hạng của cấp số nhân hữu hạn ta có \(1+a+a^2+...+a^n=\dfrac{a^{n+1}-1}{a-1}\). Do giả thiết \(\left|a\right|< 1\) suy ra \(\lim a^{n+1}=0\) và \(\lim\limits\left(1+a+...+a^n\right)=\lim\dfrac{a^{n+1}-1}{a-1}=\dfrac{0-1}{a-1}=\dfrac{1}{1-a}\)
Tương tự \(\lim\left(1+b+b^2+...+b^n\right)=\dfrac{1}{1-b}.\) Vì vậy giới hạn cần tính bằng \(\dfrac{1-b}{1-a}\)
