Tính \(\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{1-\cos x.\cos2x.\cos3x}{1-\cos x}\) .
\(12\) \(16\) \(14\) \(18\) Hướng dẫn giải:Ta có \(1-\cos x\cos2x\cos3x=1-\cos x+\cos x\left(1-\cos2x\right)+\cos x\cos2x\left(1-\cos3x\right)=\frac{\sin^2x}{1+\cos x}+\cos x.\frac{\sin^22x}{1+\cos2x}+\cos x\cos2x.\frac{\sin^23x}{1+\cos3x}\)
và \(1-\cos x=\frac{\sin^2x}{1+\cos x}\) nên
\(\frac{1-\cos x.\cos2x.\cos3x}{1-\cos x}=1+\left(\frac{\sin2x}{\sin x}\right)^2.\frac{\cos x.\left(1+\cos x\right)}{1+\cos2x}+\left(\frac{\sin3x}{\sin x}\right)^2.\frac{\cos x\cos2x\left(1+\cos x\right)}{1+\cos3x}\)
Dễ chứng minh \(\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\sin mx}{\sin nx}=\frac{m}{n}\), từ đó giới hạn cần tính bằng \(1+2^2.1+3^2.1=14\)