Tính giá trị của \(\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x^3}\).
\(\dfrac{1}{4}\).\(\dfrac{1}{2}\).\(4\).\(2\).Hướng dẫn giải:Có \(\dfrac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x^3}=\dfrac{\tan x-\sin x}{x^3\left(\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x}\right)}=\dfrac{\sin x}{x}.\dfrac{1-\cos x}{x^2\left(\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x}\right)}=\dfrac{\sin x}{x}.\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^2.\dfrac{1}{\left(\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x}\right)\left(1+\cos x\right)}\)
Giới hạn cần tính bằng \(1.1^2.\frac{1}{2.2}=\frac{1}{4}\)
Chú ý: giới hạn cần tính có dạng \(\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\) trong đó \(f\left(x\right),g\left(x\right)\) có đạo hàm tại \(x=a\) và thỏa mãn điều kiện \(f\left(a\right)=g\left(a\right)=0\) nhưng lại có \(g'\left(a\right)=0\) nên không dùng MTCT để tính trực tiếp.