Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(A=\dfrac{4y^2-4x^2+6xy}{x^2+y^2}\) khi x, y thay đổi luôn thỏa mãn điều kiện \(x^2+y^2\ne0\).
Giá trị lớn nhất của biểu thức A là :
3.4.5.6.Hướng dẫn giải:Cách 1: Biểu thức A được viết lại thành :
\(A=\frac{4y^2-4x^2+6xy}{x^2+y^2}=\frac{5x^2+5y^2-\left(y^2-6xy+9x^2\right)}{x^2+y^2}=5-\frac{\left(y-3x\right)^2}{x^2+y^2}\le5\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(y=3x,x\ne0\). Vật A có GTLN là 5.
Cách 2: -Nếu \(y=0,x\ne0\) thì \(A=-4\) .
- Nếu thì chia cả tử và mẫu cho \(y^2\) và đặt \(t=\dfrac{x}{y}\) thì
\(A=\dfrac{4-4t^2+6t}{t^2+1}=\dfrac{5t^2+5-\left(9t^2-6t+1\right)}{t^2+1}=5-\dfrac{\left(3t-1\right)^2}{t^2+1}\le5\).
GTLN = 5, đạt khi \(3t-1=0\Leftrightarrow3x-y=0,\left(x\ne0\right)\).
Cách 3: \(A=\dfrac{4-4t^2+6t}{t^2+1}\Leftrightarrow At^2+A=4-4t^2+6t\Leftrightarrow\left(A+4\right)t^2-6t+\left(A-4\right)=0\)
Nếu A là một giá trị của biểu thức đã cho thì phương trình trên phải có nghiệm, tức là
\(\Delta'=9-\left(A^2-16\right)\ge0\Leftrightarrow-5\le A\le5\)
Vậy GTLN của biểu thức đã cho là 5.