Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\sqrt{x+\dfrac{1}{2x}}\) trên \(\left(0;+\infty\right)\) bằng
\(\sqrt{2}\) \(\sqrt[4]{2}\) \(2\) \(\sqrt[3]{2}\) Hướng dẫn giải:Cách 1 (sử dụng bất đẳng thứuc Côsi): Theo Côsi ta có \(x+\dfrac{1}{2x}\ge2\sqrt{x.\dfrac{2}{2x}}=\sqrt{2}\Rightarrow y\ge\sqrt[4]{2},\forall x>0.\) GTNN\(=\sqrt[4]{2}\) (đạt khi \(x=\dfrac{1}{2x}\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)).
Cách 2: \(y'=\left(1-\dfrac{1}{2x^2}\right):\left(2\sqrt{x+\dfrac{1}{2x}}\right)\) luôn cùng dấu với \(2x^2-1\). Vì vậy trên khoảng \(\left(0;+\infty\right)\), \(y'\) đổi dấu từ dương sang âm khi \(x\) qua \(x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\), do đó GTNN\(=y\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=\sqrt{\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}}=\sqrt[4]{2}.\)
