Cho tứ giác ABCD. Tìm hệ thức đúng trong các hệ thức sau.
\(BA^2-CB^2+CD^2-AD^2=2.\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{DB}\).\(AB^2-BC^2+DC^2-DA^2=2.\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}\).\(AB^2-CB^2+CD^2-DA^2=2.\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{DB}\).\(AB^2-BC^2+CD^2-AD^2=2.\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}\).Hướng dẫn giải:Theo định nghĩa tích vô hướng thì \(\left|\overrightarrow{a}\right|^2=\overrightarrow{a}^2\), do đó
\(AB^2=BA^2=\overrightarrow{AB}^2;CD^2=DC^2=\overrightarrow{CD}^2;....\)
nên \(AB^2-BC^2+CD^2-AD^2=\left(\overrightarrow{AB}^2-\overrightarrow{BC}^2\right)+\left(\overrightarrow{CD^2}-\overrightarrow{AD^2}\right)\)
\(=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}\right)+\left(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AD}\right)\left(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}\right)\)
\(=\overrightarrow{AC}\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}\right)-\overrightarrow{AC}\left(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AD}\right)\)
\(=\overrightarrow{AC}\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{AD}\right)\)
\(=\overrightarrow{AC}\left[\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\right)-\overrightarrow{BD}\right]\)
\(=\overrightarrow{AC}\left[\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DB}\right]=2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}\)
Vậy \(AB^2-BC^2+CD^2-AD^2=2.\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}\).
