Cho khối tứ diện có thể tích bằng V. Gọi V' là thể tích của khối đa diện có các đỉnh là các trung điểm của các cạnh của khối tứ diện đã cho, tính tỉ số \(\dfrac{V'}{V}\).
\(\dfrac{V'}{V}=\dfrac{1}{2}\).\(\dfrac{V'}{V}=\dfrac{1}{4}\).\(\dfrac{V'}{V}=\dfrac{2}{3}\).\(\dfrac{V'}{V}=\dfrac{5}{8}\).Hướng dẫn giải:
V' là tổng các thể tích của bốn khối chóp đỉnh N: N.QRS, N.PQS, N. MPQ, N.MQR.
Khối chóp N.QRS có diện tích đáy bằng \(\dfrac{1}{4}\) diện tích đáy của khối chóp A.BCD và có đường cao bẳng
\(\dfrac{1}{2}\) đường cao khối chóp A.BCD (do giả thiết Q,R,S,N là trung điểm các cạnh của tứ diện ABCD), vì vậy khối chóp N.QRS có thể tích bằng \(\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{8}\) thể tích ABCD, tức là \(V_{NQRS}=\dfrac{1}{4}V\). Tương tự,
\(V_{NMPQ}=\dfrac{1}{8}V\).
Chú ý rằng hình chóp N.PQS cũng có thể xem là hình chóp đỉnh Q, đáy NPS nên lại theo trên ta có
\(V_{N.PQS}=V_{Q.NPS}=\dfrac{1}{8}V\). Tương tự, \(V_{N.MQR}=\dfrac{1}{8}V\).
Vì vậy \(V'=4.\dfrac{1}{8}V=\dfrac{1}{2}V\Rightarrow\dfrac{V'}{V}=\dfrac{1}{2}\)