\(a,b\) phải thỏa mãn điều kiện gì để phương trình \(x^3+ax+b=0\) có 3 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng?
\(a>0;b>0\).\(a>0;b=0\).\(a< 0;b< 0\).\(a< 0;b=0\).Hướng dẫn giải:Giả sử phương trình \(x^3+ax+b=0\) có ba nghiệm \(x_1;x_2;x_3\) thì :
Khi đó: \(x^3+ax+b=\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)\)
\(=x^3-\left(x_1+x_2+x_3\right)x^2+\left(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1\right)x-x_1x_2x_3\)
\(\Rightarrow\begin{cases}-\left(x_1+x_2+x_3\right)=0\\x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=a\\-x_1x_2x_3=b\end{cases}\)
Vì \(x_1.x_2.x_3\) lập thành cấp số cộng nên:
\(x_1+x_2+x_3=3x_2=0\Rightarrow x_2=0\)
Vậy \(x_2=0\) là một nghiệm của phương trình.
\(\Rightarrow0^3+a.0+b=0\Rightarrow b=0\)
Khi đó ta có phương trình \(x^3+ax=0\Leftrightarrow x\left(x^2+a\right)=0\)
Để phương trình này có 3 nghiệm thì \(a< 0\), khi đó ba nghiệm là:
\(x_1=-\sqrt{-a};x_2=0;x_3=\sqrt{-a}\)
Và ba nghiệm này lập thành cấp số cộng.
Vậy điều kiện là: \(a< 0;b=0\)
