Ôn tập Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác, các đường đồng quy của tam giác

1. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam 

- Định lí 1: Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.

- Định lí 2: Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.

- Nhận xét: Trong tam giác tù (hoặc tam giác vuông), góc tù (hoặc góc vuông) là góc lớn nhất nên cạnh đối diện với góc tù (hoặc góc vuông) là cạnh lớn nhất.

2. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu

- Định lí 1: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.

- Định lí 2: Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó:

     + Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn;

     + Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn;

     + Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau, và ngược lại, nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.

3. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức tam giác.

- Định lí: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

- Hệ quả: Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại.

- Nhận xét: Trong một tam giác, độ dài của một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng các độ dài của hai cạnh còn lại.

Trong tam giác \(ABC\), ta có:  

           \(AB-AC< BC< AB+AC\)

           \(AC-BC< AB< AC+BC\)

           \(BC-AB< AC< BC+AB\)

- Khi xét độ dài ba đoạn thẳng có thỏa mãn bất đẳng thức tam giác hay không, ta chỉ cần so sánh độ dài lớn nhất với tổng hai độ dài còn lại, hoặc so sánh độ dài nhỏ nhất với hiệu hai độ dài còn lại.

4. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

- Định nghĩa: Đường thẳng (hay đoạn thẳng) nối từ một đỉnh của tam giác đến trung điểm của cạnh đối diện với đỉnh ấy được gọi là đường trung tuyến của tam giác.

- Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến.

- Tính chất: Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng \(\dfrac{2}{3}\) độ dài đường trung truyến đi qua đỉnh ấy và được gọi là trọng tâm của tam giác.

Trong tam giác \(ABC\), các đường trung tuyến \(AD,BE,CF\) cắt nhau tại trọng tâm \(G\). Ta có: \(\dfrac{GA}{DA}=\dfrac{GB}{EB}=\dfrac{GC}{FC}=\dfrac{2}{3}\)

5. Tính chất tia phân giác của một góc

- Định lí thuận: Điểm nằm trên tia phân giác  của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó.

Xét trong hình vẽ trên, điểm \(M\) nằm trên tia phân giác của góc \(xOy\). \(MH\perp Ox;MK\perp Oy\) thì ta có: \(MH=MK\)

- Định lí đảo: Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó.

Xét điểm \(M\) nằm bên trong góc \(xOy\), \(MH\perp Ox;MK\perp Oy\). Nếu \(MH=MK\) thì \(M\) nằm trên tia phân giác của góc \(xOy\).

- Nhận xét: Tập hợp tất cả các điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc là tia phân giác của góc đó.

6. Tính chất ba đường phân giác của tam giác

- Mỗi tam giác có ba đường phân giác.

- Định lí: Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó.

7. Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng

- Định lí thuận: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.

- Định lí đảo: Điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.

- Nhận xét: Tập hợp tất cả các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó.

- Ta có thể ứng dụng tính chất này để vẽ được đường trung trực của một đoạn thẳng bằng thước và compa.

8. Tính chất ba đường trung trực của tam giác

- Mỗi tam giác có ba đường trung trực tương ứng với ba cạnh của tam giác.

- Định lí: Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

- Giao điểm của ba đường trung trực của một tam giác là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

9. Tính chất ba đường cao của tam giác

- Định nghĩa: Trong một tam giác, đoạn thẳng (hay đường thẳng) kẻ vuông góc từ một đỉnh đếu cạnh đối diện với đỉnh ấy được gọi là đường cao của tam giác.

- Mỗi tam giác có ba đường cao.

- Tính chất: Ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này được gọi là trực tâm của tam giác.

- Trong một tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh đó.

- Nhận xét: Nếu một tam giác có hai trong bốn đường (đường phân giác, đường trung tuyến, đường cao cùng xuất phát từ một đỉnh và đường trung trực ứng với cạnh đối diện của đỉnh này) trùng nhau thì tam giác đó là một tam giác cân.

- Đặc biệt, trong tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh của tam giác, điểm nằm bên trong và cách đều ba cạnh của tam giác là bốn điểm trùng nhau.