Bài 9: Tính chất ba đường cao của tam giác

1. Đường cao của tam giác

Định nghĩa:

Trong một tam giác, đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi là đường cao của tam giác đó.

Ví dụ: Xét tam giác \(ABC\), đoạn thẳng \(AI\) vuông góc với \(BC\). Ta nói đoạn thẳng \(AI\) là một đường cao (xuất phát từ đỉnh \(A\)) của tam giác \(ABC\).

Đôi khi ta cũng nói đường thẳng \(AI\) là một đường cao của tam giác \(ABC\).

Tương tự như vậy, ta có thể kẻ các đường cao ​​\(BH,CK\) của tam giác \(ABC\) như hình sau:

Mỗi tam giác có ba đường cao.

Ví dụ 1: Cho tam giác nhọn \(ABC\) có hai đường cao \(AD,BE\) cắt nhau tại \(H\). Biết \(\widehat{ACB}=70^0\). Tính số đo góc \(\widehat{DHE}\)?

Giải:

Xét trong tam giác \(BEC\) vuông tại \(E\) ta có \(\widehat{EBC}+\widehat{ECB}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{EBC}=90^0-70^0=20^0\) hay \(\widehat{HBD}=20^0\)

Xét trong tam giác \(HDB\) vuông tại \(D\) ta có \(\widehat{HBD}+\widehat{DHB}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{DHB}=90^0-\widehat{HBD}=90^0-20^0=70^0\)

Mặt khác ta có: \(\widehat{DHB}+\widehat{DHE}=180^0\) (hai góc bù nhau)

Nên \(\widehat{DHE}=180^0-70^0=110^0\)

2. Tính chất ba đường cao của tam giác

Định lí:

Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này gọi là trực tâm của tam giác.

Ví dụ: Xét các dạng tam giác \(ABC\) sau. Các đường cao \(AI,BK,CL\) cùng đi qua (đồng quy tại) điểm \(H\). Khi đó, \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\).

Nhận xét: Trực tâm của một tam giác có thể nằm trong tam giác, có thể nằm ngoài tam giác hoặc trùng với một đỉnh của tam giác.

Ví dụ 2: Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\).Trên cạnh \(AB\) lấy điểm \(H\). Trên tia đối của tia \(AC\) lấy điểm \(D\) sao cho \(AD=AH\).

Chứng minh rằng \(CH\perp BD\).

Giải:

Gọi giao điểm của \(DH\) và \(BC\) là \(E\).

Do tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) nên \(\widehat{ACB}=\widehat{ABC}=45^0\)

\(\Rightarrow\widehat{ECD}=45^0\)

Lại có: \(AD=AH\) \(\Rightarrow\Delta AHD\) vuông cân tại \(A\). Do đó \(\widehat{AHD}=\widehat{ADH}=45^0\)

\(\Rightarrow\widehat{CDE}=45^0\)

Xét tam giác \(ECD\) có \(\widehat{CDE}+\widehat{ECD}+\widehat{CED}=180^0\) (tổng ba góc trong một tam giác)

\(\Rightarrow45^0+45^0+\widehat{CED}=180^0\Rightarrow\widehat{CED}=90^0\)

\(\Rightarrow DH\perp BC\)

Xét tam giác \(BCD\) có \(BH\perp CD,DH\perp BC\) suy ra các đường thẳng \(BH,DH\) là đường cao của tam giác \(BCD\)

Do 3 đường cao của tam giác đồng quy tại một điểm.

Nên \(H\) là trực tâm của tam giác \(BCD\)  \(\Rightarrow CH\perp BD\)

3. Về các đường cao, trung tuyến, trung trực, phân giác của tam giác cân

Tính chất:

Trong một tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao cùng xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh đó.

Nhận xét: Trong một tam giác, nếu hai trong bốn loại đường (đường trung tuyến, đường phân giác, đường cao cùng xuất phát tại một đỉnh và đường trung trực ứng với cạnh đối diện của đỉnh này) trùng nhau thì tam giác đó là một tam giác cân.

Ví dụ 3: Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\), đường cao \(AI\). Biết \(AB=AC=10cm\), \(BC=12cm\). Tính độ dài đoạn thẳng \(AI\).

Giải:

Do tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên đường cao \(AI\) đồng thời là trung tuyến ứng với cạnh \(BC\)

\(\Rightarrow I\) là trung điểm \(BC\)

\(\Rightarrow IB=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{12}{2}=6\left(cm\right)\)

Ta có: Tam giác \(ABI\) vuông tại \(I\). Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

\(AI^2+BI^2=AB^2\)

\(\Rightarrow AI=\sqrt{AB^2-BI^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8\left(cm\right)\)

Đặc biệt: Đối với tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh là bốn điểm trùng nhau.