Bài 7. Lập phương của một tổng. Lập phương của một hiệu

1. Lập phương của một tổng

Với hai biểu thức A và B tùy ý, ta có

       (A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³.

Ví dụ 1: Khai triển

a)  \((x+2y)^3\);               b) \((x+4)^3\).

Hướng dẫn giải 

(x + 2y)³ = x³ + 3.x².2y + 3.x.(2y)² + (2y)³

               = x³ + 6x²y + 12xy² + 8y³.

b) (x + 4)³ = x³ + 3.x².4 + 3.x.4² + 4³ 

                 = x³ + 12x² + 48x + 64.

Ví dụ 2: Viết biểu thức 8x³ + 60x²y + 150xy² + 125y³ dưới dạng lập phương của một tổng.

Hướng dẫn giải

8x³ + 60x²y + 150xy² + 125y³

= (2x)³ + 3.(2x)².5y + 3.2x.(5y)² + (5y)³

= (2x + 5y)³. 

2. Lập phương của một hiệu

Với hai biểu thức A và B tùy ý, ta có 

              (A - B)³ = A³ - 3A²B + 3AB² - B³.

Ví dụ 3: Khai triển

a)  \((x-2y)^3\);               b) \((2-x)^3\).

Hướng dẫn giải 

(x - 2y)³ = x³ - 3.x².2y + 3.x.(2y)² - (2y)³

               = x³ - 6x²y + 12xy² - 8y³.

b) (2 - x)³ = 2³ - 3.2².x + 3.2.x² - x³ 

                = 8 - 12x + 6x² - x³.

Ví dụ 4: Viết biểu thức 8x³ - 12x² + 6x - 1 dưới dạng lập phương của một hiệu.

Hướng dẫn giải

8x³ - 12x² + 6x - 1

= (2x)³ - 3.(2x)².1 + 3.2x.1² - 1³ = (2x - 1)³.

Ví dụ 5: Tính nhanh  102³ - 3.102².2 + 3.102.2² - 2³.

Hướng dẫn giải

102³ - 3.102².2 + 3.102.2² - 2³

= (102 - 2)³ =  100³ = 1 000 000.

Ví dụ 6: Bác An dự định gấp một khối lập phương có cạnh là 5cm. Sau khi xem xét lại, bác An quyết định giảm độ dài cạnh của khối lập phương là x (cm). Viết đa thức biểu thị thể thích của khối lập phương mới.

Hướng dẫn giải

Do bác An quyết định giảm độ dài cạnh của khối lập phương là x (cm) nên độ dài cạnh của khối lập phương mới là (x - 5) (cm).

Thể tích của khối lập phương mới là

                (x - 5)³ = x³ - 15x² + 75x - 125 (cm³).