Bài 5: Phương trình mũ và phương trình lôgarit

I. PHƯƠNG TRÌNH MŨ

1. Phương trình mũ cơ bản

Phương trình mũ cơ bản có dạng

          \(a^x=b\left(a>0,a\ne1\right)\)

Để giải phương trình trên, ta sử dụng định nghĩa lôgarit. 

Với \(b>0\), ta có \(a^x=b\Leftrightarrow x=\log_ab\). Phương trình có nghiệm duy nhất.

Với \(b\le0\), phương trình  vô nghiệm.

Ví dụ 1: Giải phương trình \(2^{2x-1}+4^{x+1}=5\).

Giải:

Ta có: \(2^{2x-1}+4^{x+1}=5\) \(\Leftrightarrow2^{-1}.2^{2x}+4^x.4=5\)

                                      \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}.4^x+4.4^x=5\)

                                      \(\Leftrightarrow4^x=\dfrac{10}{9}\)

                                      \(\Leftrightarrow x=\log_4\dfrac{10}{9}\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x=\log_4\dfrac{10}{9}\).

2. Cách giải một số phương trình mũ cơ bản

a) Đưa về cùng cơ số

Ví dụ 2: Giải phương trình \(\left(1,5\right)^{5x-7}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{x+1}\).

Giải:

Đưa hai vế về cùng cơ số \(\dfrac{3}{2}\) ta được:

    \(\left(\dfrac{3}{2}\right)^{5x-7}=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{-x-1}\)

Do đó \(5x-7=-x-1\Leftrightarrow x=1\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x=1\).

b) Đặt ẩn phụ

Ví dụ 3: Giải phương trình \(9^x-4.3^x-45=0\).

Giải:

Đặt \(t=3^x\left(t>0\right)\) ta có phương trình: \(t^2-4t-45=0\)

Giải phương trình bậc hai này ta được hai nghiệm \(t_1=9,t_2=-5\)

Chỉ có nghiệm \(t_1=9\) thoả mãn điều kiện \(t>0\).

Do đó \(3^x=9\Leftrightarrow x=2\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x=2\).

c) Lôgarit hoá

Ví dụ 4: Giải phương trình \(3^x.2^{x^2}=1\).

Giải:

Lấy lôgarit hai vế với cơ số 3 (còn gọi là lôgarit hoá), ta được:

    \(\log_3\left(3^x.2^{x^2}\right)=\log_31\Leftrightarrow\log_33^x+\log_32^{x^2}=0\)

Từ đó ta có: \(x+x^2\log_32=0\Leftrightarrow x\left(1+x\log_32\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-\dfrac{1}{\log_32}=-\log_23\end{matrix}\right.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm là \(x_1=0\) và \(x_2=-\log_23\).

II. PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

Phương trình lôgarit là phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu lôgarit.

1. Phương trình lôgarit cơ bản

Phương trình lôgarit cơ bản có dạng 

         \(\log_ax=b\left(a>0,a\ne1\right)\)

Theo định nghĩa lôgarit ta có:

        \(\log_ax=b\Leftrightarrow x=a^b\)

Phương trình \(\log_ax=b\left(a>0,a\ne1\right)\) luôn có nghiệm duy nhất \(x=a^b\) với mọi \(b\).

2. Cách giải một số phương trình lôgarit cơ bản

a) Đưa về cùng cơ số

Ví dụ 5: Giải phương trình \(\log_3x+\log_9x+\log_{27}x=11\).

Giải:

Đưa các số hạng ở vế trái về cùng cơ số 3, ta được

     \(\log_3x+\log_{3^2}x+\log_{3^3}x=11\)

\(\Leftrightarrow\log_3x+\dfrac{1}{2}\log_3x+\dfrac{1}{3}\log_3x=11\Leftrightarrow\log_3x=6\)

Vậy \(x=3^6=729\).

b) Đặt ẩn phụ

Ví dụ 6: Giải phương trình \(\dfrac{1}{5-\log x}+\dfrac{2}{1+\log x}=1\).

Giải:

Điều kiện của phương trình là \(x>0\), \(\log x\ne5\) và \(\log x\ne-1\)

Đặt \(t=\log x\left(t\ne5,t\ne-1\right)\) ta được phương trình 

              \(\dfrac{1}{5-t}+\dfrac{2}{1+t}=1\)

Từ đó ta có phương trình

              \(1+t+2\left(5-t\right)=\left(5-t\right)\left(1+t\right)\)

         \(\Leftrightarrow t^2-5t+6=0\)

         \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=2\left(tm\right)\\t=3\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)

Với \(t=2\) ta có \(\log x=2\Leftrightarrow x=100\)

Với \(t=3\) ta có \(\log x=3\Leftrightarrow x=1000\)

Vậy phương trình có hai nghiệm là \(x_1=100\) và \(x_2=1000\).

c) Mũ hoá

Ví dụ 7: Giải phương trình \(\log_2\left(5-2^x\right)=2-x\).

Giải:

Điều kiện của phương trình là \(5-2^x>0\)

Ta có \(\log_2\left(5-2^x\right)=2-x\) \(\Leftrightarrow2^{\log_2\left(5-2^x\right)}=2^{2-x}\) (phép biến đổi này gọi là mũ hoá)

Từ đó ta có: \(5-2^x=\dfrac{4}{2^x}\Leftrightarrow2^{2x}-5.2^x+4=0\)

Đặt \(t=2^x\left(t>0\right)\) ta có phương trình bậc hai \(t^2-5t+4=0\)

Phương trình này có hai nghiệm \(t=1,t=4\).

Với \(t=1\),  ta có \(2^x=1\Leftrightarrow x=0\)

Với \(t=4\), ta có \(2^x=4\Leftrightarrow x=2\).

Vậy phương trình có hai nghiệm là \(x_1=0\) và \(x_2=2\)