Nội dung lý thuyết
Các phiên bản khác+) Bước 1: Lập hệ phương trình
- Chọn 2 ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng.
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết.
- Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
+) Bước 2: Giải hệ phương trình.
+) Bước 3: So sánh với điều kiện và đưa ra kết luận.
Một số công thức và chú ý:
+) Tổng (hiệu) của hai số \(a\) và \(b\) là \(m\) thì ta có: \(a\pm b=m\).
+) Tỉ số của hai số \(a\) và \(b\) là \(k\) thì ta có: \(\dfrac{a}{b}=k\).
+) Cho \(a,b,c\) là các chữ số. Khi đó ta có:
\(\overline{ab}=10a+b;\\ \overline{abc}=100a+10b+c;...\)
Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng hai lần chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục 1 đơn vị. Nếu viết số ấy theo thứ tự ngược lại thì được số mới (có hai chữ số) bé hơn số cũ 27 đơn vị.
Phân tích: Bài toán trên có hai đại lượng chưa biết là chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị của số cần tìm. Theo giả thiết, khi viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại ta vẫn được một số có 2 chữ số. Do đó, cả hai chữ số của số cần tìm đều phải khác 0.
Lời giải:
Gọi số cần tìm là \(\overline{ab}\) (\(0< a,b\le9;a,b\in N\)).
Do hai lần chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục 1 đơn vị nên ta có phương trình:
\(2b-a=1\)
Khi viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại ta được số mới là \(\overline{ba}\). Theo giả thiết, ta có phương trình:
\(\overline{ab}-\overline{ba}=27\\ \Leftrightarrow\left(10a+b\right)-\left(10b+a\right)=27\\ \Leftrightarrow9a-9b=27\)
Ta có hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}2b-a=1\\9a-9b=27\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2b-1\\9\left(2b-1\right)-9b=27\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2b-1\\9b=36\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2b-1\\b=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=7\\b=4\end{matrix}\right.\) (Thỏa mãn).
Vậy số cần tìm là 74.
Ví dụ 2: Tỉ số của hai số là 3:4. Nếu giảm số lớn đi 100 đơn vị và tăng số bé lên 200 đơn vị thì tỉ số mới của hai số là 5:3. Tìm hai số đó.
Phân tích: Hai đại lượng chưa biết chính là hai số cần tìm. Chúng phải là các số tự nhiên khác 0.
Lời giải:
Gọi số bé là \(x\), số lớn là \(y\) (\(x,y\in N;0< x< y\)).
Theo giả thiết, ta có: \(\dfrac{x}{y}=\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow4x=3y\).
Giảm số lớn đi 100 đơn vị ta được số \(y-100\). Tăng số bé lên 200 đơn vị ta được số \(x+200\).
Theo giả thiết, ta có: \(\dfrac{x+200}{y-100}=\dfrac{5}{3}\Leftrightarrow3\left(x+200\right)=5\left(y-100\right)\)
Ta có hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}4x=3y\\3\left(x+200\right)=5\left(y-100\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3}{4}y\\3x+600=5y-500\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3}{4}y\\5y-3.\dfrac{3}{4}y=1100\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3}{4}y\\\dfrac{11}{4}y=1100\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3}{4}y\\y=400\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=300\\y=400\end{matrix}\right.\) (Thỏa mãn).
Vậy hai số cần tìm là 300 và 400.
Một số công thức:
+) Quãng đường (S) = Vận tốc (v) \(\times\) Thời gian (t).
+) Vận tốc xuôi dòng = Vận tốc riêng + Vận tốc dòng nước.
+) Vận tốc ngược dòng = Vận tốc riêng - Vận tốc dòng nước.
Ví dụ 1: Một xe tải đi từ TP.Hồ Chí Minh đến TP.Cần Thơ, quãng đường dài 189km. Sau khi xe tải xuất phát 1 giờ, một xe khách đi từ TP.Cần Thơ đến TP.Hồ Chí Minh và gặp xe tải sau khi đã đi được 1 giờ 48 phút. Tính vận tốc mỗi xe, biết mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 13km.
Phân tích: Hai đại lượng chưa biết là vận tốc của mỗi xe. Ta đã biết thời gian chuyển động của từng xe và tổng quãng đường. Vận tốc không thể là số âm.
Lời giải:
Gọi vận tốc của xe tải là \(x\) (km/h), vận tốc của xe khách là \(y\) (km/h) (\(x,y>0\)).
Thời gian đi của xe khách là: 1 giờ 48 phút = \(\dfrac{9}{5}\) giờ
\(\Rightarrow\) Quãng đường xe khách đi là: \(\dfrac{9}{5}y\) (km).
Thời gian đi của xe tải là: \(\dfrac{9}{5}+1=\dfrac{14}{5}\) giờ
\(\Rightarrow\) Quãng đường xe tải đi là: \(\dfrac{14}{5}x\) (km).
Tổng quãng đường hai xe đi chính là quãng đường từ TP.Hồ Chí Minh đến TP.Cần Thơ nên ta có phương trình: \(\dfrac{14}{5}x+\dfrac{9}{5}y=189\).
Mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 13km nên ta có phương trình: \(x+13=y\).
Ta có hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{14}{5}x+\dfrac{9}{5}y=189\\x+13=y\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{14}{5}x+\dfrac{9}{5}\left(x+13\right)=189\\y=x+13\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{23}{5}x=\dfrac{828}{5}\\y=x+13\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=36\\y=x+13\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=36\\y=49\end{matrix}\right.\) (Thỏa mãn).
Vậy vận tốc xe tải là 36 km/h, vận tốc xe khách là 49 km/h.
Ví dụ 2: Một ca nô xuôi dòng 81 km và ngược dòng 42 km mất 5 giờ. Một lần khác, cũng với vận tốc như thế, ca nô xuôi dòng 9 km và ngược dòng 7 km mất 40 phút. Tính vận tốc riêng của ca nô, coi rằng vận tốc dòng nước không đổi.
Phân tích: Hai đại lượng chưa biết là vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước. Chúng đều phải là các số dương.
Lời giải:
Đổi: 40 phút = \(\dfrac{2}{3}\) giờ.
Gọi vận tốc riêng của ca nô là \(x\) (km/h), vận tốc dòng nước là \(y\) (km/h) (\(x>y>0\)).
\(\Rightarrow\) Vận tốc ca nô khi xuôi dòng là \(x+y\) (km/h), vận tốc ca nô khi ngược dòng là \(x-y\) (km/h).
Lần 1: thời gian xuôi dòng là \(\dfrac{81}{x+y}\) (giờ), thời gian ngược dòng là \(\dfrac{42}{x-y}\) (giờ) nên ta có phương trình: \(\dfrac{81}{x+y}+\dfrac{42}{x-y}=5\).
Lần 2: thời gian xuôi dòng là \(\dfrac{9}{x+y}\) (giờ), thời gian ngược dòng là \(\dfrac{7}{x-y}\) (giờ) nên ta có phương trình: \(\dfrac{9}{x+y}+\dfrac{7}{x-y}=\dfrac{2}{3}\).
Ta có hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{81}{x+y}+\dfrac{42}{x-y}=5\\\dfrac{9}{x+y}+\dfrac{7}{x-y}=\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\).
Đặt \(a=\dfrac{1}{x+y};b=\dfrac{1}{x-y}\left(a,b>0\right)\), hệ phương trình trên trở thành:
\(\left\{{}\begin{matrix}81a+42b=5\\9a+7b=\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}81a+42b=5\\81a+63b=6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}21b=1\\a=-\dfrac{7}{9}b+\dfrac{2}{27}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=\dfrac{1}{21}\\a=\dfrac{1}{27}\end{matrix}\right.\) (Thỏa mãn)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x+y}=\dfrac{1}{27}\\\dfrac{1}{x-y}=\dfrac{1}{21}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=27\\x-y=21\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=48\\y=27-x\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=24\\y=3\end{matrix}\right.\) (Thỏa mãn)
Vậy vận tốc riêng của ca nô là 24 km/h.