Bài 4: Hàm số mũ. Hàm số logarit

I. HÀM SỐ MŨ

1. Định nghĩa

Cho số thực dương \(a\) khác 1.

Hàm số \(y=a^x\) được gọi là hàm số mũ cơ số \(a\).

Ví dụ: \(y=\left(\sqrt{3}\right)^x\) là hàm số mũ cơ số \(\sqrt{3}\).

2. Đạo hàm của hàm số mũ

Ta thừa nhận công thức: \(\lim\limits_{t\rightarrow0}\dfrac{e^t-1}{t}=1\)

Định lí 1:

Hàm số \(y=e^x\) có đạo hàm tại mọi \(x\) và 

       \(\left(e^x\right)'=e^x\).

Chú ý: Công thức đạo hàm của hàm hợp đối với hàm số \(e^u\left(u=u\left(x\right)\right)\) là \(\left(e^u\right)'=u'.e^u\).

Định lí 2:

Hàm số \(y=a^x\left(a>0,a\ne1\right)\) có đạo hàm tại mọi \(x\) và

        \(\left(a^x\right)'=a^x\ln a\).

Chú ý: Đối với hàm hợp \(a^{u\left(x\right)}\) ta có: \(\left(a^{u\left(x\right)}\right)'=a^u\ln a.u'\).

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số \(y=8^{x^2+x+1}\).

Giải:

Ta có: \(y'=\left(8^{x^2+x+1}\right)'=8^{x^2+x+1}.\ln8.\left(x^2+x+1\right)'=8^{x^2+x+1}\left(2x+1\right)\ln8\).

3. Khảo sát hàm số mũ \(y=a^x\left(a>0,a\ne1\right)\)

II. HÀM SỐ LÔGARIT

1. Định nghĩa

Cho số thực dương \(a\) khác 1.

Hàm số \(y=\log_ax\) được gọi là hàm số lôgarit cơ số \(a\).

Ví dụ: Các hàm số \(y=\log_3x,y=\log_{\dfrac{1}{4}}x,y=\ln x,y=\log x\) là các hàm số lôgarit với cơ số lần lượt là \(3,\dfrac{1}{4},e,10\).

2. Đạo hàm của hàm số lôgarit

Định lí 3:

Hàm số \(y=\log_ax\) \(\left(a>0,a\ne1\right)\) có đạo hàm tại mọi \(x>0\) và

               \(\left(\log_ax\right)'=\dfrac{1}{x\ln a}\).

Đặc biệt: \(\left(\ln x\right)'=\dfrac{1}{x}\).

Chú ý: Đối với hàm hợp \(\log_au\left(x\right)\) ta có: \(\left(\log_au\left(x\right)\right)'=\dfrac{u'}{u\ln a}\).

Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số \(y=\log_2\left(2x+1\right)\).

Giải:

Ta có \(y'=\left(\log_2\left(2x+1\right)\right)'=\dfrac{\left(2x+1\right)'}{\left(2x+1\right)\ln2}=\dfrac{2}{\left(2x+1\right)\ln2}\).

3. Khảo sát hàm số \(y=\log_ax\) \(\left(a>0,a\ne1\right)\)

Nhận xét: Đồ thị của các hàm số \(y=a^x\) và \(y=\log_ax\) \(\left(a>0,a\ne1\right)\) đối xứng với nhau qua đường thẳng \(y=x\).