Nội dung lý thuyết
Tương tự như quy tắc nhân hai phân số, ta có quy tắc nhân hai phân thức như sau:
Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử với nhau và nhân các mẫu với nhau:
\(\dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D}=\dfrac{A.C}{B.D}\).
Chú ý: Kết quả của phép nhân hai phân thức được gọi là tích. Ta thường viết tích này dưới dạng rút gọn.
Ví dụ 1: Thực hiện phép nhân \(\dfrac{x^2-25}{x}.\dfrac{1}{x+5}\).
Hướng dẫn giải
\(\dfrac{x^2-25}{x}.\dfrac{1}{x+5}\\ =\dfrac{(x-5)(x+5)}{x}.\dfrac{1}{x+5}\\ =\dfrac{(x-5)(x+5).1}{x.(x+5)}\\ =\dfrac{x-5}{x}.\)
Phép nhân phân thức cũng có các tính chất sau:
+ Giao hoán: \(\dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D}=\dfrac{C}{D}.\dfrac{A}{B};\)
+ Kết hợp: \(\Big(\dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D}\Big).\dfrac{M}{N}=\dfrac{A}{B}.\Big(\dfrac{C}{D}.\dfrac{M}{N}\Big);\)
+ Phân phối đối với phép cộng:
\(\dfrac{A}{B}.\Big(\dfrac{C}{D}+\dfrac{M}{N}\Big)=\dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D}+\dfrac{A}{B}.\dfrac{M}{N}\);
+ Nhân với số 1: \(\dfrac{A}{B}.1=1.\dfrac{A}{B}=\dfrac{A}{B}.\)
Ví dụ 2: Tính bằng cách hợp lí: \(\dfrac{x}{x-2}.\dfrac{1}{x+2}.\dfrac{x+2}{x}\).
Hướng dẫn giải
\(\dfrac{x}{x-2}.\dfrac{1}{x+2}.\dfrac{x+2}{x}\\ =\Big(\dfrac{x}{x-2}.\dfrac{x+2}{x}\Big).\dfrac{1}{x+2}\\ =\dfrac{x+2}{x-2}.\dfrac{1}{x+2}\\ =\dfrac{1}{x-2}.\)
Ví dụ 3: Thực hiện phép tính \(\dfrac{1}{x}.\dfrac{x+2}{x-2}+\dfrac{1}{x}.\dfrac{2}{x-2}\).
Hướng dẫn giải
\(\dfrac{1}{x}.\dfrac{x+2}{x-2}-\dfrac{1}{x}.\dfrac{2}{x-2}\\ =\dfrac{1}{x}.\Big(\dfrac{x+2}{x-2}-\dfrac{2}{x-2}\Big)\\ =\dfrac{1}{x}.\dfrac{x+2-2}{x-2}\\ =\dfrac{1}{x}.\dfrac{x}{x-2}=\dfrac{1}{x-2}.\)
Cũng như phân số, mỗi phân thức với tử và mẫu là các đa thức khác đa thức 0 đều có phân thức nghịch đảo sao cho tích của hai phân thức bằng 1.
Nhận xét: Phân thức \(\dfrac{B}{A}\) được gọi là phân thức nghịch đảo của phân thức \(\dfrac{A}{B}\) với A, B là các đa thức khác 0.
Ví dụ 4: Tìm phân thức nghịch đảo của phân thức
a) \(\dfrac{x-2}{x+2}\).
b) \(\dfrac{1}{x}.\)
c) 2x + 1.
Hướng dẫn giải
a) Phân thức nghịch đảo của phân thức \(\dfrac{x-2}{x+2}\) là \(\dfrac{x+2}{x-2}\).
b) Phân thức nghịch đảo của phân thức \(\dfrac{1}{x}\) là x.
c) Phân thức nghịch đảo của phân thức 2x + 1 là \(\dfrac{1}{2x+1}.\)
Tương tự như quy tắc chia hai phân số, ta có:
Muốn chia phân thức \(\dfrac{A}{B}\) cho phân thức \(\dfrac{C}{D}\) khác 0, ta nhân \(\dfrac{A}{B}\) với phân thức nghịch đảo của phân thức \(\dfrac{C}{D}\).
\(\dfrac{A}{B}:\dfrac{C}{D}=\dfrac{A}{B}.\dfrac{D}{C}\) với \(\dfrac{C}{D}\) khác 0.
Ví dụ 5: Thực hiện phép chia \(\dfrac{x^2-4}{x}:\dfrac{x+2}{x^2}\).
Hướng dẫn giải
\(\dfrac{x^2-4}{x}:\dfrac{x+2}{x^2}\\ =\dfrac{(x-2)(x+2)}{x}:\dfrac{x+2}{x^2}\\ =\dfrac{(x-2)(x+2)}{x}.\dfrac{x^2}{x+2}\\ =x(x-2).\)
Ví dụ 6: Một hình chữ nhật có diện tích \(x^2-1\;(cm^2)\), chiều dài là x + 1 (cm). Tính chiều rộng của hình chữ nhật đó.
Hướng dẫn giải
Chiều rộng của hình chữ nhật là
\((x^2-1):(x+1)=\dfrac{x^2-1}{x+1}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x+1}=x-1\;(cm)\)