Bài 26. Phép nhân và phép chia phân số

1. PHÉP NHÂN HAI PHÂN SỐ

Muốn nhân hai phân số, ta nhân các tử với nhau và nhân các mẫu với nhau.

\(\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{c}{d}=\dfrac{a\cdot c}{b\cdot d}\).

Ví dụ 1. Tính:

a) \(\dfrac{8}{5}\cdot\dfrac{-5}{16}\);

b) \(5\cdot\dfrac{9}{-4}\)

Giải:

a) \(\dfrac{8}{5}\cdot\dfrac{-5}{16}=\dfrac{8\cdot\left(-5\right)}{5\cdot16}=\dfrac{-40}{80}=\dfrac{-1}{2}\).

b) \(5\cdot\dfrac{9}{-4}=\dfrac{5}{1}\cdot\dfrac{9}{-4}=\dfrac{5\cdot9}{1\cdot\left(-4\right)}=\dfrac{45}{-4}\).

Nhận xét. Muốn nhân một số nguyên với một phân số, ta nhân số nguyên đó với tử của phân số và giữ nguyên mẫu.

2. TÍNH CHẤT CỦA PHÉP NHÂN

Tương tự phép nhân số nguyên, phép nhân phân số cũng có tính chất giao hoán, kết hợp và phân phối của phép nhân đối với phép cộng.

Ví dụ. Thực hiện các phép tính:

a) \(\dfrac{-5}{26}\cdot\dfrac{7}{15}\cdot\dfrac{-26}{5}\);

b) \(\dfrac{14}{17}\cdot\dfrac{6}{11}-\dfrac{14}{17}\cdot\dfrac{17}{11}\).

Giải:

a) \(\dfrac{-5}{26}\cdot\dfrac{7}{15}\cdot\dfrac{-26}{5}\)

 \(=\dfrac{-5}{26}\cdot\dfrac{-26}{5}\cdot\dfrac{7}{15}\\ =\left(\dfrac{-5}{26}\cdot\dfrac{-26}{5}\right)\cdot\dfrac{7}{15}\\ =1\cdot\dfrac{7}{15}=\dfrac{7}{15}.\)

b) \(\dfrac{14}{17}\cdot\dfrac{6}{11}-\dfrac{14}{17}\cdot\dfrac{17}{11}\)

\(=\dfrac{14}{17}\cdot\left(\dfrac{6}{11}-\dfrac{17}{11}\right)\)

\(=\dfrac{14}{17}\cdot\dfrac{6-17}{11}\\ =\dfrac{14}{17}\cdot\dfrac{-11}{11}\\ =\dfrac{14}{17}\cdot\left(-1\right)\\ =\dfrac{-14}{17}.\)

3. PHÉP CHIA PHÂN SỐ

Phân số nghịch đảo

Hai phân số gọi là nghịch đảo của nhau nếu tích của chúng bằng 1.

Chẳng hạn, hai phân số \(\dfrac{7}{8}\) và \(\dfrac{8}{7}\) là hai phân số nghịch đảo của nhau. Vì \(\dfrac{7}{8}\cdot\dfrac{8}{7}=1\).

Ta gọi  \(\dfrac{7}{8}\) là phân số nghịch đảo của phân số \(\dfrac{8}{7}\); \(\dfrac{8}{7}\) cũng là phân số nghịch đảo của \(\dfrac{7}{8}\).

Ví dụ 1. Tìm phân số nghịch đảo của 9 và \(\dfrac{6}{-11}\).

Giải:

Vì \(9\cdot\dfrac{1}{9}=1\) nên phân số nghịch đảo của 9 là \(\dfrac{1}{9}\).

Vì \(\dfrac{6}{-11}\cdot\dfrac{-11}{6}=1\) nên phân số nghịch đảo của \(\dfrac{6}{-11}\) là \(\dfrac{-11}{6}\).

Phép chia phân số

Muốn chia một phân số cho một phân số khác 0, ta nhân số bị chia với phân số nghịch đảo của số chia:

\(\dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{d}{c}=\dfrac{a\cdot d}{b\cdot c}\).

Lưu ý. Phân số nghịch đảo của \(\dfrac{c}{d}\) là \(\dfrac{d}{c}\) (\(c,d\ne0\)).

Ví dụ 2. Tính:

a) \(\dfrac{5}{9}:\dfrac{-1}{2}\);

b) \(\dfrac{1}{6}:\left(-5\right)\).

Giải:

a) \(\dfrac{5}{9}:\dfrac{-1}{2}=\dfrac{5}{9}\cdot\dfrac{2}{-1}=\dfrac{5\cdot2}{9\cdot\left(-1\right)}=\dfrac{10}{-9}\).

b) \(\dfrac{1}{6}:\left(-5\right)=\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{-5}=\dfrac{1\cdot1}{6\cdot\left(-5\right)}=\dfrac{-1}{30}\).