Bài 2. Tập hợp R các số thực

I. Tập hợp số thực

1. Số thực

Số hữu tỉ và số vô tỉ được gọi chung là số thực.

Tập hợp các số thực được kí hiệu là \(\mathbb R\).

2. Biểu diễn thập phân của số thực

Mỗi số thực là số hữu tỉ và số vô tỉ. Vì thế, mỗi số thực đều biểu diễn được dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn. Cụ thể, ta có số đồ sau

II. Biểu diễn số thực trên trục số

Tương tự như đối với số hữu tỉ, ta có thể biểu diễn mọi số thực trên trục số, khi đó điểm biểu diễn số thực x được gọi là điểm x.

Mỗi số thực được biểu diễn bởi một điểm trên trục số. Ngược lại, mỗi điểm trên trục số đều biểu diễn một số thực.

III. Số đối của một số thực

+ Trên trục số, hai số thực (phân biệt) có điểm biểu diễn nằm về hai phía của điểm gốc 0 và cách đều điểm gốc 0 được gọi là hai số đối nhau.

+ Số đối của số thực a kí hiệu là -a.

+ Số đối của 0 là 0.

Nhận xét: Số đối của số -a là số a tức là -(-a) = a.

Ví dụ 1: Tìm số đối của các số: \(\dfrac{-1}{2};\sqrt{5};-1,5.\)

Hướng dẫn giải

+ Số đối của số \(\dfrac{-1}{2}\) là \(\dfrac{1}{2}\).

+ Số đối của \(\sqrt{5}\) là \(-\sqrt{5}\).

+ Số đối của -1,5 là 1,5.

IV. So sánh các số thực

1. So sánh hai số thực

Cũng như số hữu tỉ, trong hai số thực khác nhau luôn có một số nhỏ hơn số kia.

+ Nếu số thực a nhỏ hơn số thực b thì ta viết a < b hay b > a.

+ Số thực lớn hơn 0 gọi là số thực dương.

+ Số thực nhỏ hơn 0 gọi là số thực âm.

+ Số 0 không phải là số thực dương cũng không phải số thực âm.

+ Nếu a < b và b < c thì a < c.

2. Cách so sánh hai số thực

Trong những trường hợp, ta có thể so sánh hai số thực bằng cách biểu diễn thập phân mỗi số thực đó rồi so sánh hai số thập phân đó.

Ví dụ 2: So sánh

a) 1,05678... và 1,50678...

b) 0,32138... và 0,3(3).

Hướng dẫn giải

a) Do 0 < 5 nên 1,05678... < 1,50678....

b) Ta có 0,3(3) = 0,333...

Do 2 < 3 nên 0,32138... < 0,3(3).

Chú ý: Việc biểu diễn một số thực dưới dạng số thập phân (hữu hạn hoặc vô hạn) thường là phức tạp. Trong một số trường hợp ta dùng quy tắc sau: Với a, b là hai số thực dương, nếu a > b thì \(\sqrt{a}>\sqrt{b}\).

3. Minh họa trên trục số

Giả sử hai điểm x, y lần lượt biểu diễn hai số thực x và y trên trục số nằm ngang. Ta thừa nhận nhận xét sau

+ Nếu x < y hay y > x thì điểm x nằm bên trái điểm y.

+ Ngược lại, nếu điểm x nằm bên trái điểm y thì x < y hay y > x.

Đối với hai điểm x, y lần lượt biểu diễn hai số thực x, y trên trục số thẳng đứng, ta cũng thừa nhận nhận xét sau:

+ Nếu x < y hay y > x thì điểm x nằm phía dưới điểm y.

+ Ngược lại, nếu điểm x nằm phía dưới điểm y thì x < y hay y > x.

Ví dụ 3: Sắp xếp các số \(\sqrt{11};4;-3\).

Hướng dẫn giải

Vì -3 < 0 nên -3 < 4.

Ta có \(4=\sqrt{16}\) mà 11 < 16 nên \(\sqrt{11}<\sqrt{16}\). 

Vậy các số đã cho được sắp xếp theo thứ tự tăng dần là\(-3;\sqrt{11};4.\)