Bài 2: Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Hướng dẫn giải

a) 

Chiều cao (cm)	[160; 164)	[164; 168)	[168; 172)	[172; 176)	[176; 180)
Số học sinh	3	5	8	4	1
Giá trị đại diện	162	166	170	174	178

b) 

Giá trị đại diện	162	166	170	174	178
Số học sinh	3	5	8	4	1

Cỡ mẫu: n = 21

Giá trị trung bình của mẫu số liệu mới: \(\overline x  = \frac{1}{n}({n_1}{c_1} + {n_2}{c_2} + ... + {n_k}{c_k}) = \frac{1}{{21}}(3.162 + 5.166 + 8.170 + 4.174 + 1.178) = \frac{{3550}}{{21}}\)

Phương sai của mẫu số liệu mới: \({S^2} = \frac{1}{n}[{n_1}{({c_1} - \overline x )^2} + {n_2}{({c_2} - \overline x )^2} + ... + {n_k}{({c_k} - \overline x )^2}] = \frac{1}{{21}}[3{(162 - \frac{{3550}}{{21}})^2} + 5{(166 - \frac{{3550}}{{21}})^2} + ... + 1{(178 - \frac{{3550}}{{21}})^2}] = \frac{{8000}}{{441}}\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu mới: \(\sigma  = \sqrt {{S^2}}  = \sqrt {\frac{{8000}}{{441}}}  = \frac{{40\sqrt 5 }}{{21}}\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Chiều cao đại diện (cm)	162	166	170	174	178
Tần số	3	5	8	4	1

Cỡ mẫu: n = 21

Giá trị trung bình của mẫu số liệu mới: \(\overline x  = \frac{1}{n}({n_1}{c_1} + {n_2}{c_2} + ... + {n_k}{c_k}) = \frac{1}{{21}}(3.162 + 5.166 + 8.170 + 4.174 + 1.178) = \frac{{3550}}{{21}}\)

Phương sai của mẫu số liệu mới: \({S^2} = \frac{1}{n}[{n_1}{({c_1} - \overline x )^2} + {n_2}{({c_2} - \overline x )^2} + ... + {n_k}{({c_k} - \overline x )^2}] = \frac{1}{{21}}[3{(162 - \frac{{3550}}{{21}})^2} + 5{(166 - \frac{{3550}}{{21}})^2} + ... + 1{(178 - \frac{{3550}}{{21}})^2}] = \frac{{8000}}{{441}}\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu mới: \(\sigma  = \sqrt {{S^2}}  = \sqrt {\frac{{8000}}{{441}}}  = \frac{{40\sqrt 5 }}{{21}}\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Số bước (đơn vị: nghìn)	[3; 5)	[5; 7)	[7; 9)	[9; 11)	[11; 13)
Số bước đại diện	4	6	8	10	12
Số ngày của Mai	6	7	6	6	5
Số ngày của Ngọc	2	5	13	8	2

a) Cỡ mẫu: n = 30

- Xét mẫu số liệu của Mai:

Số trung bình: \(\overline {{x_1}}  = \frac{{6.4 + 7.6 + 6.8 + 6.10 + 5.12}}{{30}} = 7,8\)

Phương sai: \({S_1}^2 = \frac{{({{6.4}^2} + {{7.6}^2} + {{6.8}^2} + {{6.10}^2} + {{5.12}^2})}}{{30}} - 7,{8^2} = 7,56\)

Độ lệch chuẩn: \({\sigma _1} = \sqrt {7,56}  \approx 2,75\)

- Xét mẫu số liệu của Ngọc:

Số trung bình: \(\overline {{x_2}}  = \frac{{2.4 + 5.6 + 13.8 + 8.10 + 2.12}}{{30}} = 8,2\)

Phương sai: \({S_2}^2 = \frac{{({{2.4}^2} + {{5.6}^2} + {{13.8}^2} + {{8.10}^2} + {{2.12}^2})}}{{30}} - 8,{2^2} \approx 3,83\)

Độ lệch chuẩn: \({\sigma _2} = \sqrt {3,83}  \approx 1,96\)

b) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì bạn Ngọc có số lượng bước chân đi mỗi ngày đều đặn hơn

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Cự li (m)	[19; 19,5)	[19,5; 20)	[20; 20,5)	[20,5; 21)	[21; 21,5)
Giá trị đại diện	19,25	19,75	20,25	20,75	21,25
Tần số	13	45	24	12	6

Cỡ mẫu: n = 100

Số trung bình: \(\overline x  = \frac{{13.19,25 + 45.19,75 + 24.20,25 + 12.20,75 + 6.21,25}}{{100}} = 20,015\)

Phương sai: \({S^2} = \frac{{13.19,{{25}^2} + 45.19,{{75}^2} + 24.20,{{25}^2} + 12.20,{{75}^2} + 6.21,{{25}^2}}}{{100}} - 20,{015^2} \approx 0,28\)

Độ lệch chuẩn: \(\sigma  = \sqrt {0,28}  \approx 0,53\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Có 2 máy vi tính có thời gian sử dụng pin từ 7,2 đến dưới 7,4 giờ

b)

Thời gian (giờ)	[7,2; 7,4)	[7,4; 7,6)	[7,6; 7,8)	[7,8; 8,0)
Giá trị đại diện	7,3	7,5	7,7	7,9
Số máy vi tính	2	4	7	5

Cỡ mẫu: n = 18

Số trung bình: \(\overline x  = \frac{{2.7,3 + 4.7,5 + 7.7,7 + 5.7,9}}{{18}} \approx 7,67\)

Phương sai: \({S^2} = \frac{{2.7,{3^2} + 4.7,{5^2} + 7.7,{7^2} + 5.7,{9^2}}}{{18}} - 7,{67^2} \approx 0,04\)

Độ lệch chuẩn: \(\sigma  = \sqrt {0,04}  \approx 0,19\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu: 61,1 – 42 = 19,1 (km/h)

Cỡ mẫu: n = 20

Gọi \({x_1};{\rm{ }}{x_2}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{20}}\) là mẫu số liệu gốc về tốc độ của 20 xe hơi khi đi qua một trạm kiểm tra tốc độ được xếp theo thứ tự không giảm.

Trung vị \({Q_2} = \frac{1}{2}({x_{10}} + {x_{11}}) = \frac{1}{2}(48,4 + 50,8) = 49,6\)

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của nửa số liệu bên trái \({Q_2}\) \({Q_1} = \frac{1}{2}({x_5} + {x_6}) = \frac{1}{2}(46,7 + 46,8) = 46,75\)

Tứ phân vị thứ ba là trung bị của nửa số liệu bên phải \({Q_2}\): \({Q_3} = \frac{1}{2}({x_{15}} + {x_{16}}) = \frac{1}{2}(54,8 + 55,6) = 55,2\)

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 8,45\)

Số trung bình: \(\overline x  = \frac{{42 + 43,4 + ... + 61,1}}{{20}} = 50,945\)

Phương sai: \({S^2} = \frac{{{{42}^2} + 43,{4^2} + ... + 61,{1^2}}}{{20}} - 50,{945^2} \approx 32,2\)

Độ lệch chuẩn: \(\sigma  = \sqrt {32,2}  \approx 5,67\)

b)

Tốc độ (km/h)	[42; 46)	[46; 50)	[50; 54)	[54; 58)	[58; 62)
Số xe	3	7	4	3	3

c) Ta có: \({x_1};...;{\rm{ }}{x_3} \in [42;46)\); \({x_4}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{10}} \in [46;50)\);\({x_{11}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{14}} \in [50;54)\);\({x_{15}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{17}} \in [54;58)\);\({x_{18}};...;{x_{20}} \in [58;62)\)

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}({x_5} + {x_6}) \in [46;50)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1}' = 46 + \frac{{\frac{{20}}{4} - 3}}{7}(50 - 46) = \frac{{330}}{7}\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}({x_{15}} + {x_{16}}) \in [54;58)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3}' = 54 + \frac{{\frac{{3.20}}{4} - (3 + 7 + 4)}}{3}(58 - 54) = \frac{{166}}{3}\)

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q}' = {Q_3}' - {Q_1}' = \frac{{172}}{{21}}\)

 

Tốc độ (km/h)	[42; 46)	[46; 50)	[50; 54)	[54; 58)	[58; 62)
Giá trị đại diện	44	48	52	56	60
Số xe	3	7	4	3	3

Số trung bình: \(\overline x  = \frac{{3.44 + 7.48 + 4.52 + 3.56 + 3.60}}{{20}} = 41,8\)

Phương sai: \({S^2} = \frac{{{{3.44}^2} + {{7.48}^2} + {{4.52}^2} + {{3.56}^2} + {{3.60}^2}}}{{20}} - 41,{8^2} = 364,96\)

Độ lệch chuẩn: \(\sigma  = \sqrt {364,96}  = 19,1\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a)

Đường kính (cm)	[30; 32)	[32; 34)	[34; 36)	[36; 38)	[38; 40)
Giá trị đại diện	31	33	35	37	39
Số cây trồng ở địa điểm A	25	38	20	10	7
Số cây trồng ở địa điểm B	22	27	19	18	14

- Xét mẫu số liệu của địa điểm A:

Số trung bình: \({\overline x _A} = \frac{{25.31 + 38.33 + 20.35 + 10.37 + 7.39}}{{100}} = 33,72\)

- Xét mẫu số liệu của địa điểm B:

\({\overline x _B} = \frac{{22.31 + 27.33 + 19.35 + 18.37 + 14.39}}{{100}} = 34,5\)

Đường kính trung bình của thân cây xoan đào trồng tại địa điểm A nhỏ hơn tại địa điểm B.

b) - Xét mẫu số liệu của địa điểm A:

\({\sigma _A} = \sqrt {\frac{{{{25.31}^2} + {{38.33}^2} + {{20.35}^2} + {{10.37}^2} + {{7.39}^2}}}{{100}} - 33,{{72}^2}}  = 2,32\)

- Xét mẫu số liệu của địa điểm B:

\({\sigma _B} = \sqrt {\frac{{{{22.31}^2} + {{27.33}^2} + {{19.35}^2} + {{18.37}^2} + {{14.39}^2}}}{{100}}}  = 2,7\)

Vậy cây trồng tại địa điểm A có đường kính đồng đều hơn

(Trả lời bởi datcoder)