Bài 2: Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

1. Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dương

Tính chất: 

Khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dương ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Với 3 số \(a,b,c\) và \(c>0\) ta có:

     Nếu \(a>b\) thì \(ac>bc\)    ;     Nếu \(a\ge b\) thì \(ac\ge bc\)  ;

     Nếu \(a< b\) thì \(ac< bc\)    ;     Nếu \(a\le b\) thì \(ac\le bc\).

Ví dụ 1:

+) Ta có  \(-2< 3\) và \(2>0\) nên \(\left(-2\right).2< 3.2\)

+) Ta có \(-15,2< -15,08\) và \(\dfrac{1}{2}>0\) nên \(\left(-15,2\right).\left(\dfrac{1}{2}\right)< \left(-15,08\right).\left(\dfrac{1}{2}\right)\).

Ví dụ 2. Cho 2 số thực \(m\) và \(n\), biết rằng \(m>n\). Hãy so sánh \(2m+1\) và \(2n+1\)?

Giải:

Ta có: \(m>n\) và \(2>0\) nên \(2m>2n\) 

\(\Rightarrow2m+1>2n+1\).

Ví dụ 3. Cho 2 số thực \(a\) và \(b\) biết \(3a-2< 3b-2\). Hãy so sánh a và b?

Giải:

Ta có: \(3a-2< 3b-2\) \(\Rightarrow3a< 3b\)

Mà \(\dfrac{1}{3}>0\) \(\Rightarrow3a.\dfrac{1}{3}< 3b.\dfrac{1}{3}\) hay \(a< b\).

2. Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số âm

Tính chất:

Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được một bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.

Với 3 số \(a,b,c\) mà \(c< 0\) ta có:

     Nếu \(a< b\) thì \(ac>bc\)    ;     Nếu \(a\le b\) thì \(ac\ge bc\) ;

     Nếu \(a>b\) thì \(ac< bc\)    ;     Nếu \(a\ge b\) thì \(ac\le bc\).

Ví dụ 1:

+) Ta có \(12,45>11,54\) mà \(-0,5< 0\) nên \(12,45.\left(-0,5\right)< 11,54.\left(-0,5\right)\);

+) Ta có \(-3< -1,5\) mà \(-\dfrac{2}{7}< 0\) nên \(\left(-3\right).\left(-\dfrac{2}{7}\right)>\left(-1,5\right)\left(-\dfrac{2}{7}\right)\).

Ví dụ 2: Cho 2 số thực \(a\) và \(b\) biết rằng \(-4a< -4b\). Hãy so sánh \(a+2\) và \(b+2\)?

Giải:

Ta có \(-4a< -4b\) mà \(-\dfrac{1}{4}< 0\)

\(\Rightarrow\left(-4a\right).\left(-\dfrac{1}{4}\right)>\left(-4b\right).\left(-\dfrac{1}{4}\right)\)

\(\Rightarrow a>b\)

\(\Rightarrow a+2>b+2\).

3. Tính chất bắc cầu của thứ tự

Tính chất:

Với 3 số a, b và c ta thấy rằng

Nếu \(a< b\) và \(b< c\) thì \(a< c\);

Nếu \(a>b\) và \(b>c\) thì \(a>c\);

Nếu \(a\le b\) và \(b\le c\) thì \(a\le c\);

Nếu \(a\ge b\) và \(b\ge c\) thì \(a\ge c\).

Ví dụ 1: Cho 2 số thực \(a,b\) biết rằng \(a>b\). Hãy so sánh:

       a)  \(2a-1\) và \(2b-5\)                     b) \(a+2\) và \(b-1\)

Giải:

a) Ta có \(a>b\) mà \(2>0\) 

\(\Rightarrow2a>2b\) \(\Rightarrow2a-1>2b-1\)   (1)

Lại có: \(-1>-5\) \(\Rightarrow2b-1>2b-5\)    (2)

Từ (1) và (2) theo tính chất bắc cầu suy ra \(2a-1>2b-5\).

b) Ta có \(a>b\) \(\Rightarrow a+2>b+2\)    (1)

Lại có: \(2>-1\Rightarrow b+2>b-1\)   (2)

Từ (1) và (2) theo tính chất bắc cầu suy ra \(a+2>b-1\).

Ví dụ 2: Cho 2 số thực \(x,y\) biết \(x>y>0\). Chứng minh rằng \(x^2>y^2\).

Giải:

Ta có: \(x>y\) và \(x>0\) \(\Rightarrow x^2>xy\) (1)

Lại có: \(x>y\) và \(y>0\) \(\Rightarrow xy>y^2\) (2)

Từ (1) và (2) theo tính chất bắc cầu suy ra \(x^2>y^2\) (Đpcm)