Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số
Nội dung lý thuyết
1. Nhận biết tính đơn điệu của hàm số bằng dấu của đạo hàm
Định lí 1: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên tập \(K \subset R\) , với \(K\) là một khoảng, nửa khoảng hoặc đoạn.
• Nếu \(f'\left( x \right) > 0,{\rm{ }}\forall x \in K\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(K\) .
• Nếu \(f'\left( x \right) < 0,{\rm{ }}\forall x \in K\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(K\) .
Chú ý: Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên tập \(K\) hoặc nghịch biến trên tập \(K\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) còn được gọi là đơn điệu trên tập \(K \subset R\) .
Định lí 2: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên tập \(K \subset R\) , với \(K\) là một khoảng, nửa khoảng hoặc đoạn.
• Nếu \(f'\left( x \right) \ge 0,{\rm{ }}\forall x \in K\) và \(f'\left( x \right) = 0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm của \(K\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(K\) .
• Nếu \(f'\left( x \right) \le 0,{\rm{ }}\forall x \in K\) và \(f'\left( x \right) = 0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm của \(K\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(K\) .
Nhận xét: Để xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số \(y = f\left( x \right)\) , ta có thể thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số \(y = f\left( x \right)\) .
Bước 2: Tính đạo hàm \(f'\left( x \right)\) . Tìm các điểm \({x_i}\left( {i = 1,2,3,...,n} \right)\) tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.
Bước 3: Sắp xếp các điểm \({x_i}\) theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên để xét dấu \(y' = f'(x)\) .
Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên, nêu kết luận các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.
Ví dụ: Xét chiều biến thiên của hàm số \(y = \dfrac{{x - 2}}{{x + 1}}\) .
Tập xác định của hàm số là \(R\backslash \{ - 1\} \) .
Ta có: \(y' = \dfrac{{(x + 1) - (x - 2)}}{{{{(x + 1)}^2}}} = \dfrac{3}{{{{(x + 1)}^2}}} > 0\) , với mọi \(x \ne - 1\) .
Lập bảng biến thiên của hàm số:
Từ bảng biến thiên, ta có: Hàm số đồng biến trên các khoảng \(( - \infty ; - 1)\) và \(( - 1; + \infty )\) .
Tập xác định của hàm số là \(R\backslash \{ - 1\} \) .
Ta có: \(y' = \dfrac{{(x + 1) - (x - 2)}}{{{{(x + 1)}^2}}} = \dfrac{3}{{{{(x + 1)}^2}}} > 0\) , với mọi \(x \ne - 1\) .
Lập bảng biến thiên của hàm số:
Từ bảng biến thiên, ta có: Hàm số đồng biến trên các khoảng \(( - \infty ; - 1)\) và \(( - 1; + \infty )\) .
2. Điểm cực trị, giá trị cực trị của hàm số
Định nghĩa: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên tập \(K \subset R\) , trong đó \(K\) là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng và \({x_0} \in K,{x_1} \in K\) .
• \({x_0}\) được gọi là điểm cực đại của hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu tồn tại một khoảng \(\left( {a;b} \right)\) chứa điểm \({x_0}\) sao cho \(\left( {a;b} \right) \subset K\) và \(f(x) < f\left( {{x_o}} \right),\forall x \in \left( {a;b} \right)\backslash \left\{ {{x_o}} \right\}\) . Khi đó, \({x_0}\) được gọi là giá trị cực đại của hàm số \(y = f\left( x \right)\) , kí hiệu \({f_{CD}}\) .
• \({x_1}\) được gọi là điểm cực tiểu của hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu tồn tại một khoảng \(\left( {c;d} \right)\) chứa điểm \({x_1}\) sao cho \(\left( {c;d} \right) \subset K\) và \(f(x) > f\left( {{x_1}} \right),\forall x \in \left( {c;d} \right)\backslash \left\{ {{x_1}} \right\}\) . Khi đó, \(f\left( {{x_1}} \right)\) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số \(y = f\left( x \right)\) , kí hiệu \({f_{CT}}\) .
• Điểm cực trị đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị)
Chú ý: Nếu \({x_0}\) là điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) thì người ta nói rằng hàm số \(y = f\left( x \right)\) đạt cực trị tại điểm \({x_0}\) . Khi đó, điểm \(M\left( {{x_o};f({x_o})} \right)\) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) .
Định lý : Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) chứa điểm \({x_0}\) và có đạo hàm trên các khoảng \(\left( {a;{x_o}} \right)\) và \(\left( {{x_o};b} \right)\) . Khi đó
• Nếu \(f'\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \in \left( {a;{x_o}} \right)\) và \(f'\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \left( {{x_o};b} \right)\) thì hàm số \(f\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại điểm \({x_0}\).
• Nếu \(f'\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \left( {a;{x_o}} \right)\) và \(f'\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \in \left( {{x_o};b} \right)\) thì hàm số \(f\left( x \right)\) đạt cực đại tại điểm \({x_0}\).
Nhận xét: Để tìm điểm cực trị của hàm số , ta có thể thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số \(y = f\left( x \right)\) .
Bước 2: Tính đạo hàm \(f'\left( x \right)\) . Tìm các điểm \({x_i}\left( {i = 1,2,3,...,n} \right)\) tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.
Bước 3: Sắp xếp các điểm \({x_i}\) theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên để xét dấu \(y' = f'(x)\) .
Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên, nêu kết luận về các điểm cực trị của hàm số.
Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x + 30\).
Tập xác định của hàm số là \(R\) .
Ta có: \(y' = 3{x^2} - 12x + 9;y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\) hoặc \(x=3\) .
Lập bảng biến thiên của hàm số:
Hàm số đạt cực đại tại \(x=3\) và \({y_{CD}} = y(1) = 34\) .
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=3\) và \({y_{CT}} = y(3) = 30\) .
Tập xác định của hàm số là \(R\) .
Ta có: \(y' = 3{x^2} - 12x + 9;y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\) hoặc \(x=3\) .
Lập bảng biến thiên của hàm số:
Hàm số đạt cực đại tại \(x=3\) và \({y_{CD}} = y(1) = 34\) .
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=3\) và \({y_{CT}} = y(3) = 30\) .