Nội dung lý thuyết
Trên tập số thực, khi so sánh hai số \(a\) và \(b\), xảy ra một trong ba trường hợp:
+ Số \(a\) bằng số \(b\), kí hiệu là \(a=b\);
+ Số \(a\) lớn hơn số \(b\), kí hiệu là \(a>b\);
+ Số \(a\) nhỏ hơn số , kí hiệu là \(a< b\).
Ví dụ: +) \(1,53< 1,81\) ;
+) \(\dfrac{12}{-18}=\dfrac{-2}{3}\) ;
+) \(-1,02>-2,13\) ; ...
Khi biểu diễn số thực trên trục số (theo phương nằm ngang), điểm biểu diễn số nhỏ hơn nằm ở bên trái điểm biểu diễn số lớn hơn.
Nếu số \(a\) không lớn hơn số \(b\) thì phải có \(a=b\) hoặc \(a< b\), ta nói số \(a\) nhỏ hơn hoặc bằng số \(b\) và được kí hiệu là \(a\le b\).
Ví dụ: \(x^2\ge0\) với mọi \(x\) ;
Nếu số thực c không lớn hơn 2 ta viết: \(c\le2\)
Nếu số \(a\) không nhỏ hơn số \(b\) thì phải có \(a=b\) hoặc \(a>b\) , ta nói số \(a\) lớn hơn hoặc bằng số \(b\) và được kí hiệu là \(a\ge b\).
Ví dụ: Nếu số thực y không nhỏ hơn 3 ta viết: \(y\ge3\).
Ta gọi các hệ thức có dạng \(a< b\) (hoặc \(a>b\) , \(a\le b\), \(a\ge b\) ) là các bất đẳng thức, trong đó \(a\) là vế trái còn \(b\) là vế phải của bất đẳng thức.
Ví dụ:
+) \(7+\left(-3\right)>5\) là một bất đẳng thức, trong đó \(7+\left(-3\right)\) là vế trái, \(5\) là vế phải của bất đẳng thức.
+) \(\left(-2\right)+5>\left(-4\right)+5\) là một bất đẳng thức trong đó \(\left(-2\right)+5\) là vế trái, \(\left(-4\right)+5\) là vế phải của bất đẳng thức.
+) \(x^2+1\ge1\) là một bất đẳng thức, trong đó \(x^2+1\) là vế trái, 1 là vế phải của bất đẳng thức.
+ \(y^2-4y\ge2y-9\) là một bất đẳng thức trong đó \(y^2-4y\) là vế trái, \(2y-9\) là vế phải của bất đẳng thức.
Tính chất:
Khi cộng cùng một số vào cả hai vế của một bất đẳng thức ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.
Với 3 số \(a,b,c\) ta có:
Nếu \(a>b\) thì \(a+c>b+c\) ; Nếu \(a\ge b\) thì \(a+c\ge b+c\) ;
Nếu \(a< b\) thì \(a+c< b+c\) ; Nếu \(a\le b\) thì \(a+c\le b+c\).
Ta có thể sử dụng tính chất trên để so sánh hai số hoặc chứng minh bất đẳng thức.
Chú ý: Tính chất của thứ tự cũng chính là tính chất của bất đẳng thức.
Ví dụ 1 :
+) Do \(11< 13\) nên \(11+\sqrt{2}< 13+\sqrt{2}\).
+) Do \(-\dfrac{2}{3}>\dfrac{-7}{4}\) nên \(7+\left(-\dfrac{2}{3}\right)>7+\left(-\dfrac{7}{4}\right)\)
+) Do \(\left(y-1\right)^2\ge0\) với mọi \(y\) nên \(\left(y-1\right)^2-5\ge-5\) với mọi \(y\)
Ví dụ 2: Cho 2 số thực \(x,y\) biết \(x\ge y\). Hãy so sánh \(x-0,5\) và \(y-0,5\)?
Bài làm:
Ta có \(x\ge y\) \(\Rightarrow x+\left(-0,5\right)\ge y+\left(-0,5\right)\) hay \(x-0,5\ge y-0,5\).
Ví dụ 3: Cho \(a+\dfrac{3}{5}\le b+\dfrac{3}{5}\). Hãy so sánh \(a\) và \(b\)?
Bài làm:
Ta có: \(a+\dfrac{3}{5}\le b+\dfrac{3}{5}\)
\(\Rightarrow a+\dfrac{3}{5}+\left(-\dfrac{3}{5}\right)\le b+\dfrac{3}{5}+\left(-\dfrac{3}{5}\right)\)
\(\Rightarrow a\le b\)
Vậy \(a\le b\).
Ví dụ 4: Cho biết \(m-n=-2\). Hãy so sánh \(m\) và \(n\)?
Bài làm:
Ta có: \(m-n=-2\) mà \(-2< 0\)
\(\Rightarrow m-n< 0\)
\(\Rightarrow m-n+n< 0+n\)
\(\Rightarrow m< n\)
Vậy \(m< n\).
Ví dụ 5: Cho \(x-1=y-2=z-3\). Hãy so sánh \(x,y,z\)?
Bài làm:
Ta có: \(x-1=y-2\) \(\Rightarrow x-y=-2+1\Rightarrow x-y=-1\Rightarrow x-y< 0\Rightarrow x< y\)
Ta có: \(y-2=z-3\Rightarrow y-z=-3+2\Rightarrow y-z=-1\Rightarrow y-z< 0\Rightarrow y< z\)
Do \(x< y\) và \(y< z\) nên ta có thể viết gọn thành \(x< y< z\).
Ví dụ 6: Cho 2 số thực \(x,y\) bất kì. Hãy so sánh \(x^2+y^2\) và \(2xy\)?
Bài làm:
Ta có: \(\left(x-y\right)^2\ge0\) với mọi \(x,y\)
\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2+2xy\ge0+2xy\)
\(\Rightarrow x^2-2xy+y^2-2xy\ge2xy\)
\(\Rightarrow x^2+y^2\ge2xy\)
Vậy với 2 số thực \(x,y\) bất kì thì \(x^2+y^2\ge2xy\).