Học sinh tự chứng minh

vì Đường tròn (O;R) có đường kính BC cắt AB, AC lần lượt là F và E => góc HEA = góc HFA = 90o
mà hai góc này là hai góc đối nhau=> tứ giác AFHE nội tiếp

a) Xét tứ giác SAOB có 

\(\widehat{SAO}+\widehat{SBO}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)

nên SAOB là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

Xét (O) có 

SA là tiếp tuyến có A là tiếp điểm(gt)

SB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)

Do đó: SA=SB(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Ta có: SA=SB(cmt)

nên S nằm trên đường trung trực của AB(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)

Ta có: OA=OB(=R)

nên O nằm trên đường trung trực của AB(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)

Từ (1) và (2) suy ra SO là đường trung trực của AB

hay SO\(\perp\)AB(Đpcm)

b) đề phải là \(SA^2=SD.SE\) chứ SD không bằng SE sao \(SD^2=SD.SE\) được

Vì AE là đường kính \(\Rightarrow\angle ADE=90\) mà \(\angle SAE=90\)

\(\Rightarrow\Delta SAE\) vuông tại A có AD là đường cao

\(\Rightarrow SA^2=SD.SE\)

c) Trong (O) có DE là dây cung không đi qua O và I là trung điểm DE

\(\Rightarrow OI\bot DE\Rightarrow\angle OIS=90\Rightarrow\angle OIS=\angle OBS=90\)

\(\Rightarrow OIBS\) nội tiếp mà SAOB nội tiếp (câu a)

\(\Rightarrow O,I,A,S,B\) cùng thuộc 1 đường tròn

\(\Rightarrow AIBS\) nội tiếp \(\Rightarrow\angle AIS=\angle ABS=\angle SAB\) (\(\Delta SAB\) cân tại S)

Xét \(\Delta SAK\) và \(\Delta SIA:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle SIA=\angle SAK\\\angle ISAchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta SAK\sim\Delta SIA\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{SA}{SI}=\dfrac{SK}{SA}\Rightarrow SA^2=SK.SI\)

mà \(SA^2=SD.SE\Rightarrow SD.SE=SK.SI\)

d) AB cắt OI tại F'

Vì AE là đường kính \(\Rightarrow\angle ABE=90\Rightarrow F'BE=90\)

\(\Rightarrow\angle F'BE=\angle F'IE\Rightarrow F'BIE\) nội tiếp \(\Rightarrow\angle ABI=\angle F'EI\)

mà \(\angle ABI=\angle ASI\) (AIBS nội tiếp) \(=\angle ASE\)

\(\Rightarrow\angle F'EI+\angle AES=\angle ASE+\angle AES=90\)

\(\Rightarrow\angle F'EO=90\Rightarrow EF'\) là tiếp tuyến \(\Rightarrow\) đpcm

a) Ta có: \(\angle SAO+\angle SBO=90+90=180\Rightarrow SAOB\) nội tiếp

Vì SA,SB là tiếp tuyến \(\Rightarrow SA=SB\) và SO là phân giác \(\angle BSA\Rightarrow SO\bot AB\)

b) Xét \(\Delta SBD\) và \(\Delta SEB:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle SBD=\angle SEB\\\angle BSEchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta SBD\sim\Delta SEB\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{SB}{SE}=\dfrac{SD}{SB}\Rightarrow SB^2=SD.SE\)

c) Trong (O) có DE là dây cung không đi qua O và I là trung điểm DE

\(\Rightarrow OI\bot DE\Rightarrow\angle OIS=90=\angle OBS\Rightarrow\) OIBS nội tiếp

\(\Rightarrow O,I,B,S,A\) cùng thuộc 1 đường tròn

\(\Rightarrow\) BIAS nội tiếp \(\Rightarrow\angle BIS=\angle BAS=\angle ABS\)

Xét \(\Delta SBK\) và \(\Delta SIB:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle SBK=\angle SIB\\\angle BSIchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta SBK\sim\Delta SIB\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{SB}{SI}=\dfrac{SK}{SB}\Rightarrow SB^2=SI.SK\) 

mà \(SB^2=SD.SE\Rightarrow SD.SE=SI.SK\)

d) Ta có: \(\angle SIB=\angle SBK=\angle BEA\Rightarrow90-\angle SIB=90-\angle BEA\)

\(\Rightarrow\angle FIB=\angle FEB\Rightarrow FBIE\) nội tiếp

\(\Rightarrow\angle FBE=\angle FIE=90\Rightarrow FB\bot BE\)

mà \(AB\bot BE\left(\angle ABE=90\right)\Rightarrow\) A,B,F thẳng hàng

a: Xét (OC/2) có

góc OMC là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

=>góc OMC=90 độ

=>CM vuông góc MO

Xét (O') có

góc BPC nội tiếp

BC là đường kính

=>góc BPC=90 độ

=>BP vuông góc CM

=>BP//OM

a/

Ta có A và B cùng nhìn FO dưới 1 góc vuông => A và B thuộc đường tròn đường kính FO

=> AOBF là tứ giác nội tiếp

b/

Ta có 

\(\widehat{BAE}=90^o\) (góc nt chắn nửa đường tròn) \(\Rightarrow AE\perp AB\) (1)

\(FO\perp AB\) (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì đường nối điểm đó với tâm đường tròn vuông góc và chia đôi dây cung nối 2 tiếp điểm) (2)

Từ (1) và (2) => AE//FO mà KG//AE (gt) => AE//KG//FO

\(\Rightarrow\dfrac{FK}{FA}=\dfrac{OG}{OE}\) (Talet) (1)

Xét tg AFE có

\(\dfrac{FK}{FA}=\dfrac{IK}{AE}\) (Talet trong tam giác) (2)

Xét tg OAE có 

\(\dfrac{OG}{OE}=\dfrac{IG}{AE}\) (Talet trong tam giác) (3)

Từ (1) (2) (3) \(\Rightarrow\dfrac{IK}{AE}=\dfrac{IG}{AE}\Rightarrow IK=IG\)

c/ Câu này mình nghĩ bạn nên kiểm tra lại đề bài

a. Tứ giác AOBF nội tiếp vì có $\angle OAF=\angle OBF=90^o$

b. Chú ý rằng $OF\perp AB$ nên $OF\parallel AE$, ta biến đổi tỉ số bằng định lý Thales:

\(\dfrac{IK}{OF}=\dfrac{AK}{AF}=\dfrac{EG}{EO}=\dfrac{IG}{OF}\), vậy $IK=IG$

c. Nếu mình không nhầm thì PM không vuông NB, vì khi đó $M,P,E$ thẳng hàng, bạn có thể kiểm tra hình vẽ của mình :c