cho đường tròn O cò đường kính BC . trên đườn tròn O lấy điểm A sao cho AB>AC . vẽ các tiếp tuyến tại A,B của dường tròn O cắt nhau tại S
A/ chứng minh tứ giác SAOB nội tiếp và SO vuông góc AB
B/ kẻ đường kính AE của đườn tròn O , SE cắt đường tròn O tại D . chứng minh SD^2 = SD.SE
C/ gọi I là rung điểm của DE , K là giao điểm của AB và SE . chứng minh SD.SE=SK.SI
D/ vẽ tiếp tuyến E của đường tròn O cắt tia OI tại F . chứng minh 3 điểm A,B,F thẳng hàng
thankkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk
a) Xét tứ giác SAOB có
\(\widehat{SAO}+\widehat{SBO}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)
nên SAOB là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
Xét (O) có
SA là tiếp tuyến có A là tiếp điểm(gt)
SB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)
Do đó: SA=SB(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Ta có: SA=SB(cmt)
nên S nằm trên đường trung trực của AB(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)
Ta có: OA=OB(=R)
nên O nằm trên đường trung trực của AB(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)
Từ (1) và (2) suy ra SO là đường trung trực của AB
hay SO\(\perp\)AB(Đpcm)
b) đề phải là \(SA^2=SD.SE\) chứ SD không bằng SE sao \(SD^2=SD.SE\) được
Vì AE là đường kính \(\Rightarrow\angle ADE=90\) mà \(\angle SAE=90\)
\(\Rightarrow\Delta SAE\) vuông tại A có AD là đường cao
\(\Rightarrow SA^2=SD.SE\)
c) Trong (O) có DE là dây cung không đi qua O và I là trung điểm DE
\(\Rightarrow OI\bot DE\Rightarrow\angle OIS=90\Rightarrow\angle OIS=\angle OBS=90\)
\(\Rightarrow OIBS\) nội tiếp mà SAOB nội tiếp (câu a)
\(\Rightarrow O,I,A,S,B\) cùng thuộc 1 đường tròn
\(\Rightarrow AIBS\) nội tiếp \(\Rightarrow\angle AIS=\angle ABS=\angle SAB\) (\(\Delta SAB\) cân tại S)
Xét \(\Delta SAK\) và \(\Delta SIA:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle SIA=\angle SAK\\\angle ISAchung\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta SAK\sim\Delta SIA\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{SA}{SI}=\dfrac{SK}{SA}\Rightarrow SA^2=SK.SI\)
mà \(SA^2=SD.SE\Rightarrow SD.SE=SK.SI\)
d) AB cắt OI tại F'
Vì AE là đường kính \(\Rightarrow\angle ABE=90\Rightarrow F'BE=90\)
\(\Rightarrow\angle F'BE=\angle F'IE\Rightarrow F'BIE\) nội tiếp \(\Rightarrow\angle ABI=\angle F'EI\)
mà \(\angle ABI=\angle ASI\) (AIBS nội tiếp) \(=\angle ASE\)
\(\Rightarrow\angle F'EI+\angle AES=\angle ASE+\angle AES=90\)
\(\Rightarrow\angle F'EO=90\Rightarrow EF'\) là tiếp tuyến \(\Rightarrow\) đpcm
