a) Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) ta có: 

\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\ge\frac{4}{2p-a-b}=\frac{4}{a+b+c-a-b}=\frac{4}{c}\left(p=\frac{a+b+c}{2}\right)\)

Tương tự rồi cộng theo vế:

\(2VT\ge\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}=2VP\Leftrightarrow VT\ge VP\)

Dấu "=" khi \(a=b=c\)

b)sai đề

áp dụng BĐT 1/x+1/y>=4/x+y ấy

Do p là nửa chu vi tam giác nên \(2p=a+b+c\)

Ta có bổ đề sau: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

Áp dụng vào bài toán: 

\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\ge\frac{4}{p-a+p-b}=\frac{4}{2p-a-b}=\frac{4}{c}\)

Tương tự: \(\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge\frac{4}{a},\)\(\frac{1}{p-c}+\frac{1}{p-a}\ge\frac{4}{b}\)

\(\Rightarrow2\left(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\right)\ge\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}=4\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)(đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c.

vì a b c là 3 cạnh của 1 tam giác nên a b c dương \(\Rightarrow\)\(\frac{a^2}{b+c}\)\(\frac{b^2}{c+a}\)\(\frac{c^2}{a+b}\)dương 

chu vi của tam giác có cạnh a b c là 4 nên a+b+c=4

\(\Rightarrow\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}>=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{b+c+c+a+a+b}\)(bđt cauchy schwat dạng engel)

\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{4^2}{4\cdot2}=\frac{16}{8}=2\)

dấu = xảy ra khi \(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}\)\(\Rightarrow a=b=c=\frac{4}{3}\)

vậy \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}>=2\)dấu = xảy ra khi a=b=c=\(\frac{4}{3}\)

cảm ơn bạn nha

Link https://lazi.vn/edu/exercise/cho-a-b-c-la-do-dai-3-canh-cua-mot-tam-giac-va-p-la-nua-chu-vi-chung-minh-1-p-a-1-p-b-1-p-c-21-a-a-b-1-c

Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)với mọi x,y>0 

Ta có:      \(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\ge\frac{4}{2p-a-b}=\frac{4}{c}\)

Tương tự \(\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge\frac{4}{a}\)

               \(\frac{1}{p-c}+\frac{1}{p-a}\ge\frac{4}{b}\)

\(\Rightarrow2\left(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\right)\ge4\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

Áp dungj BĐt Cauchy - Schwarz :
\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\ge\frac{4}{2p-a-b}=\frac{4}{c}\)

\(\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge\frac{4}{2p-b-c}=\frac{4}{a}\)

\(\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge\frac{4}{2p-b-c}=\frac{4}{a}\)

Cộng theo vế và thu gọn ta được :
\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

Ta có : đpcm

Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c\)

Ta có

\(P=\frac{a+b+c}{2}\Rightarrow2p=a+b+c\)

áp dụng bđt Cauchy-Schwarz ta có

\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\ge\frac{4}{p-a+p-b}=\frac{4}{2p-a-b}=\frac{4}{a+b+c-a-b}=\frac{4}{c}\left(1\right)\)

C/m tương tự ta có

\(\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge\frac{4}{a}\left(2\right)\)

\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-c}\ge\frac{4}{b}\left(3\right)\)

Cộng vế theo vế (1) (2) và (3)   => đpcm

a) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

Tương tự:\(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{b+c};\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\ge\frac{4}{c+a}\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên rồi chia cho 2 ta thu được đpcm

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)

b)Đặt \(a+b=x;b+c=y;c+a=z\). Cần chứng minh:

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge2\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)\)

Cách làm tương tự câu a.

c) \(VT=\Sigma_{cyc}\frac{1}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}\le\frac{1}{4}\Sigma_{cyc}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)\le\frac{1}{16}\Sigma\left(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=1\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{3}{4}\)

d) Em làm biếng quá anh làm nốt đi:P

Câu d : \(p=\frac{a+b+c}{2}\Rightarrow2p=a+b+c\)

Ta có : \(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\ge\frac{4}{2p-a-b}=\frac{4}{c}\)

Tương tự : \(\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge\frac{4}{a}\)

\(\frac{1}{p-c}+\frac{1}{p-a}\ge\frac{4}{b}\)

\(\Leftrightarrow2\left(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\right)\ge\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\left(đpcm\right)\)

Dấu \("="\) xảy ra khi nó là tam giác đều