Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC , đường cao AH . Đường tròn đường kính AH cắt AB ở P và cắt AC ở Q

a ) Chứng minh \(\widehat{PHQ}=90^0\)

b ) Chứng minh tứ giác BPQC nội tiếp

c ) Gọi E , F lần lượt là trung điểm của BH , HC . Tứ giác EPQF là hình gì

d ) Tính diện tích tứ giác EPQF trong trường hợp tam giác vuông ABC có cạnh huyền BC = a và \(\widehat{ACB}=30^0\)

1 cho tứ giác ABCD có AC = BD . vẽ về phía ngoài tứ giác các tam giác cân ABM cân tại M, CDN cân tại N sao cho ^BAM = ^DCN . . gọi E,F lần lượt là trung điểm các cạnh AD,BC. CMR : EF vuông góc với MN

2 . Cho đường tròn (O) có dây AB khác đường kính. Điểm C bất kì trên AB và D bất kì trên cung nhỏ AB. Tia OC cắt đường tròn (OAB) tại F khác O. Đoạn OD cắt AB tại E. Đường thẳng FE cắt (OAB) tại G khác F. Tia GD cắt lại (OAB) ở Q. Chứng minh OQ chia đôi CD ?

Bài 1 ;

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB>AC).Vẽ đường tròn tâm O đường kính AB, BC cắt đường tròn (O) tại H

a) Gọi K là trung điểm AC.Chứng minh KO vuông góc AH

b) Chứng minh KH là tiếp tuyến của (O)

c) Gọi d là điểm đối xứng của A qua H,vẽ DN vuông AB tại N.C/m 4 điểm D,H,N,B cùng thuộc 1 đường tròn.Xác định tâm J của đường tròn đó

d) Vẽ HI vuông AB tại I.KB cắt (J) tại T.Chứng minh D,T,I thẳng hàng

Bài 2 :

từ A ngoài (O) vẽ tiếp tuyến AC AB. E F là trung điểm AB AC. Trên EF lấy M bất kì. AM cắt BC ở I. Vẽ tiếp tuyến MD. CM MD = MA

@Akai Haruma

Cho a,b,c là các số dương và thoả mãn a+b+c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(T=\frac{a}{a^2+8bc}+\frac{b}{b^2+8ca}+\frac{c}{c^2+8ab}\)

cho a^3+b^3+c^3=3abc va a+b+c khac 0 . tinh gia tri bieu thuc \(N=\frac{a^2+b^2+c^2}{\left(a+b+c\right)^2}\)

chứng minh bất đẳng thức :

a, (a +b )² < 2( a² +b²)

b, (a+b+c)² < 3(a²+b²+c² )

Cho tam giác ABC và M là 1 điểm nằm trong tam giác. Vẽ MD vuông góc với BC; ME vuông góc với CA; MF vuông góc với AB

Đặt AB = c ; AC = b; BC = a; MD = x; ME = y; MF = z và SΔABC=S

CMR: ax+by+cz=2S

Từ đó tìm min \(\left(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\right)\)

1 . Chứng minh \(\frac{1}{2\sqrt{2}+1\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{3}+2\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n+1}+n\sqrt{n}}< 1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)

2 .

1 . Cho a,b,c > 0 chứng minh rằng : \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1\)

2 . Cho x , y , z > 0 thỏa mãn : \(x+y+z=2\)

Tìm GTNN của \(P=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\)

3 . Cho các sô dương a , b , c biết \(\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\le1\)

4 . Tim giá trị nhỏ nhất của biểu thức : \(P=a^2+b^2+c^2+\frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}\)