Hình như đề sai rùi bạn ơi hình như phải cm >= 3 chứ
\(\text{Đính chính bài này là của lớp 8 với lại phải }\ge3\)
Bài làm
\(\text{Đặt }\hept{\begin{cases}b+c-a=x\\c+a-b=y\\a+b-c=z\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=2c\\y+z=2a\\x+z=2b\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}c=\frac{x+y}{2}\\a=\frac{y+z}{2}\\b=\frac{x+z}{2}\end{cases}}}\)
Thay vào bài ta có:
\(\frac{y+z}{2x}+\frac{x+z}{2y}+\frac{x+y}{2z}=\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)+\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)\right]\ge\frac{1}{2}\left(2+2+2\right)=3\left(\text{BĐT côsi}\right)\)
\(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c}\)
\(=\frac{a^2}{ab+ac-a^2}+\frac{b^2}{ba+bc-b^2}+\frac{c^2}{ca+cb-c^2}\)
\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)-\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)
\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\frac{2\left(a+b+c\right)^2}{3}-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=3\)
Bài toán được chứng minh nhưng dấu = không xảy ra. Không cần dấu = xảy ra vẫn được. Nên đề vẫn đúng.
