Đề bài sai. (SAD) và (SAC) cùng vuông góc với đáy, thế thì ta sẽ có là hình thoi ACBD, vô lý

xin lỗi mình chép thiếu đề H là trung điểm AB và SH bằng a và vuông góc với đáy

Chắc đề là \(SM=a\sqrt{3}\) vì không có điểm H nào trong dữ liệu

\(BC=AD=\sqrt{BD^2-AB^2}=a\sqrt{2}\)

a.

Qua M kẻ đường thẳng song song BC cắt CD tại E

\(\Rightarrow CD\perp ME\Rightarrow CD\perp\left(SME\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{SEM}\) là góc giữa (SCD) và (ABCD)

Áp dụng định lý talet trong tam giác BCD:

\(\dfrac{EM}{BC}=\dfrac{DM}{BD}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow EM=\dfrac{3}{4}BC=\dfrac{3a\sqrt{2}}{4}\)

\(\Rightarrow tan\widehat{SEM}=\dfrac{SM}{EM}=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}\)

\(\Rightarrow\widehat{SEM}\approx58^031'\)

b.

\(BC||AD\Rightarrow BC||\left(SAD\right)\)

\(\Rightarrow d\left(BC;AD\right)=d\left(BC;\left(SAD\right)\right)=d\left(B;\left(SAD\right)\right)\)

Lại có: BM cắt (SAD) tại D, mà \(BD=\dfrac{4}{3}MD\)

\(\Rightarrow d\left(B;\left(SAD\right)\right)=\dfrac{4}{3}d\left(M;\left(SAD\right)\right)\)

Trong mp (ABCD), từ M kẻ \(MH\perp AD\)

Trong mp (SMH), từ M kẻ \(MK\perp SH\)

\(\Rightarrow MK\perp\left(SAD\right)\Rightarrow MK=d\left(M;\left(SAD\right)\right)\)

Talet cho tam giác ABD:

\(\dfrac{MH}{AB}=\dfrac{MD}{BD}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow MH=\dfrac{3}{4}AB=\dfrac{3a}{4}\)

Hệ thức lượng trong tam giác vuông SMH:

\(MK=\dfrac{SM.MH}{\sqrt{SM^2+MH^2}}=\dfrac{3a\sqrt{19}}{19}\)

\(\Rightarrow d\left(SD;BC\right)=\dfrac{4}{3}MK=\dfrac{4\sqrt{19}}{19}\)

c.

Qua B kẻ đường thẳng d song song AC

Trong mp (ABCD), từ M hạ \(MF\perp d\)

\(AC||d\Rightarrow AC||\left(SBF\right)\Rightarrow d\left(AC;SB\right)=d\left(AC;\left(SBF\right)\right)=d\left(O;\left(SBF\right)\right)\)

Mà \(OM\) cắt \(\left(SBF\right)\) tại B đồng thời \(OB=2MB\)

\(\Rightarrow d\left(O;\left(SBF\right)\right)=2d\left(M;\left(SBF\right)\right)\)

Trong mp (SMF), từ M hạ \(MI\perp SF\)

\(\Rightarrow MI\perp\left(SBF\right)\Rightarrow MI=d\left(M;\left(SBF\right)\right)\)

Ta có: \(\widehat{MBF}=\widehat{AOB}\) (so le trong)

\(cos\widehat{AOB}=\dfrac{OA^2+OB^2-AB^2}{2OA.OB}=\dfrac{1}{3}\)

\(\Rightarrow cos\widehat{MBF}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow MF=BM.cos\widehat{MBF}=\dfrac{1}{4}BD.\dfrac{1}{3}=\dfrac{a\sqrt{3}}{12}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SMF:

\(MI=\dfrac{SM.MF}{\sqrt{SM^2+MF^2}}=...\)

\(\Rightarrow d\left(SB;AC\right)=2MI=...\)

a: \(SA=\sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2\cdot2}=\sqrt{2}\cdot\dfrac{a}{\sqrt{2}}=a\)

\(SB=SA=a\)

AH=a/2; AD=a; góc A=120 độ

=>\(cosA=\dfrac{\dfrac{1}{4}a^2+a^2-DH^2}{2\cdot\dfrac{1}{2}a\cdot a}\)

=>\(\dfrac{5}{4}a^2-HD^2=a^2\cdot\dfrac{-1}{2}=\dfrac{-1}{2}a^2\)

=>HD^2=7/4a^2

=>\(HD=\dfrac{a\sqrt{7}}{2}\)

\(SD=\sqrt{SH^2+HD^2}=\sqrt{\dfrac{7}{4}a^2+\dfrac{1}{4}a^2}=a\sqrt{2}\)

Vì SA^2+AD^2=SD^2 và AS=AD

nên ΔASD vuôg cân tại A

(SD;BC)=(DS;DA)=góc SDA=45 độ