a: AM//BN

=>AMBN là hình thang

=>góc MAN+góc ANB=180 độ

=>góc NAM=góc AMB

=>AN//MB

mà AM//BN

nên AMBN là hình bình hành

=>BM=AD và AB cắt MN tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm của MN

b: MD//AB

Xét ΔMDN có

góc MDN là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

=>góc MDN=90 độ

=>MD vuông góc DN

=>DN vuông góc AB

c: ΔODN cân tại O

mà OE là đường cao

nên E là trung điểm của DN

=>DE=EN

a, HS tự chứng minh

b, Ta chứng minh được tứ giác BCEN là hình bình hành => BC = EN

Do BCDE là hình bình hành

=> BC = ED; DE = EN

=> BA ⊥ EN => BABC

=> BC là tiếp tuyến

a) Ta có \(\widehat{AND}=\widehat{AMD}\)(góc nội tiếp cùng chắn cung AD)

\(AM//BN\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{MNB}\left(slt\right)\)

Ta có góc ANB nội tiếp đường trong O chắn nửa đường trong => góc ANB=90⁰

Ta có: \(\widehat{AMD}+\widehat{AMN}+\widehat{DNM}=\widehat{DNM}+\widehat{AND}+\widehat{MNB}\)

\(\Leftrightarrow\widehat{DMN}+\widehat{MND}=90^0\Leftrightarrow\widehat{NDM}=90^0\)

Vì DM//AB và ND vuông góc với DM => DN vuông góc với AB

b) Ta có \(\widehat{BAN}=\widehat{BMN}\)(cùng chắn cung BN)

Mà \(\widehat{AMN}+\widehat{NMB}=90^0\Rightarrow\widehat{BAN}+\widehat{BAM}=90^0\Rightarrow\widehat{MAN}=90^0\)

\(\Rightarrow MANB\)là hcn

=> AM=BN

Ta có MC//AE và AM//EC => AMCE là hbh => AM=EC mà AM=BN => BN=EC mà BN//EC => ENBC là hbh =>EN//CB => CB vuông góc với AB(vì AB vuông góc với EN)=> BC là tiếp tuyến của đường tròn O
Chúc bạn học tốt!!!
 

a: Xét (O) có

ΔBAC nội tiếp

AC là đường kính

Do đó: ΔBAC vuông tại B

Xét (O) có

\(\widehat{BAC}\) là góc nội tiếp chắn cung BC

Do đó: \(\widehat{BAC}=\dfrac{1}{2}\cdot sđ\stackrel\frown{BC}=\dfrac{1}{2}\cdot60^0=30^0\)

Gọi H là giao điểm của BD với AC

BD\(\perp\)AC nên BD\(\perp\)AC tại H

ΔOBD cân tại O

mà OH là đường cao

nên H là trung điểm của BD

Xét ΔCBD có

CH là đường cao

CH là đường trung tuyến

Do đó: ΔCBD cân tại C

=>CB=CD

Xét ΔCOD và ΔCOB có

CD=CB

OD=OB

CO chung

Do đó: ΔCOD=ΔCOB

=>\(\widehat{COD}=\widehat{COB}\)

=>\(sđ\stackrel\frown{CB}=sđ\stackrel\frown{CD}=60^0\)

Xét ΔBAC vuông tại B có \(\widehat{BAC}+\widehat{BCA}=90^0\)

=>\(\widehat{BCA}+30^0=90^0\)

=>\(\widehat{BCA}=60^0\)

Xét (O) có

\(\widehat{BCA}\) là góc nội tiếp chắn cung AB

Do đó: \(\widehat{BCA}=\dfrac{1}{2}\cdot sđ\stackrel\frown{AB}\)

=>\(sđ\stackrel\frown{AB}=2\cdot\widehat{BCA}=120^0\)

DF//AC

DB\(\perp\)AC

Do đó: DF\(\perp\)DB

=>ΔDFB vuông tại D

ΔDFB vuông tại D

nên ΔDFB nội tiếp đường tròn đường kính BF

mà ΔDFB nội tiếp (O)

nên O là trung điểm của BF

=>OA//DF

=>\(\widehat{BFD}=\widehat{BOH}=\widehat{BOC}\)(hai góc đồng vị)

=>\(\widehat{BFD}=60^0\)

ΔBDF vuông tại D

=>\(\widehat{BFD}+\widehat{FBD}=90^0\)

=>\(\widehat{FBD}+60^0=90^0\)

=>\(\widehat{FBD}=30^0\)

Xét (O) có

\(\widehat{FBD}\) là góc nội tiếp chắn cung FD

Do đó: \(\widehat{FBD}=\dfrac{1}{2}\cdot sđ\stackrel\frown{FD}\)

=>\(sđ\stackrel\frown{FD}=2\cdot\widehat{FBD}=2\cdot\)30=60 độ